Импульс тела. Закон сохранения импульса

Импульс тела

Импульсом тела называют векторную физическую величину, являющуюся количественной характеристикой поступательного движения тел.

Импульс обозначается р и равен произведению массы тела на его скорость: р = mv.

Направление вектора импульса р совпадает с направлением вектора скорости тела.

Единица измерения импульса — \(\frac{кг \cdot м}{с}\).
Для импульса системы тел выполняется закон сохранения, который справедлив только для замкнутых физических систем.

В общем случае замкнутой называют систему, которая не обменивается энергией и массой с телами и полями, не входящими в нее.

В механике замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние силы или действие этих сил скомпенсировано. В этом случае \(p_1 = р_2\), где \(p_1\) — начальный импульс системы, а \(р_2\) — конечный.

В случае двух тел, входящих в систему, это выражение имеет вид:

$$ m_1v_1 + m_2v_2 = m_1’v_1’ + m_2’v_2’, \;\;\\ \text{где} \;\; m_l \;\; и\;\; m_2 — \text{массы тел}, \;\; а\;\; v_1\;\; и\;\; v_2 — \text{скорости до взаимодействия},\;\;\\ v_1’\;\; и\;\; v_2’ — \text{скорости после взаимодействия} $$

Замечательным свойством импульса является то, что он сохраняется в замкнутой системе. Система является замкнутой, когда тела взаимодействуют силой одной природы.

Понятие импульса было введено в физику французским ученым Рене Декартом (1596-1650 г. ), который назвал эту величину "количеством движения": "Я принимаю, что во вселенной… есть известное количество движения, которое никогда не увеличивается, не уменьшается, и, таким образом, если одно тело приводит в движение другое, то теряет столько своего движения, сколько его сообщает".

Два тела одинакового объема – стальное и деревянное – движутся с одинаковыми скоростями. Импульс какого тела больше и почему?

Что такое импульс? P = mu (u -скорость тела).

Что такое масса тела? \(m = p\cdot V\) (p - плотность тела, V - объем тела).

Объемы тел одинаковы. \(V_1=V_2\) Понятно, что сталь тяжелее дерева, то есть плотность стали больше плотности дерева: \(p_1 \gt p_2\)

Вычисляем массы тел: \(m_1 = p_1V \;\; и \;\; m_2=p_2V\) (V - одинаковые)

Получается, что \(m_1 \gt m_2\) (m_1 - масса стального тела, m_2 - дерево)

\(P_1=m_1u\) и \(P_2=m_2u\), следовательно  \(P_1 \gt P_2\), так как масса 1-го (стального) больше 2-го.

Изменение импульса тела

Как определить изменение импульса тела? Необходимо найти численное значение импульса в один момент времени, затем импульс через промежуток времени. От второй найденной величины отнять первую. Вычитать следует вектора, а не числа! То есть из второго вектора импульса отнять первый вектор.

Закон сохранения импульса

Формулировка: Если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем.

Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, но и для систем, сумма всех внешних сил равна нулю. Равенство нулю всех внешних сил достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса.

Если проекция суммы внешних сил на какое-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось.

Формула:

$$ m_1U_1 + m_2U_2 = \overrightarrow{m_1U_1} + \overrightarrow{m_2U_2} $$

а) если \(U_2=0\) то \(m_1U_1=U(m_1+m_2)\)
б) если два тела движутся навтречу друг другу \(m_1U_1-m_2U_2=U(m_1+m_2)\)
в) если тела совместно движутся \(m_1U_1+m_2U_2=U(m_1+m_2)\)
Если от части тела с большой скоростью отделяется жидкость или газ, то такое движение называется реактивным.
\(U_{об} = \frac{m_2U_2}{m_{об}}\) 
U-скорость
m-масса
\(U_{об}\)-скорость оболочки
\(m_{об}\)- масса оболочки

Закон сохранения импульса гласит: В замкнутой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Другими словами: векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, не изменяется (замкнутая система - такая, в которой тела взаимодействуют только друг с другом).

При каких условиях выполняется закон сохранения импульса?

Закон сохранения импульса выполняется при условии, что сумма импульсов до взаимодействия равна сумме импульсов после взаимодействия. А также при условии, что система замкнута.

Закон сохранения импульса выполняется в однородном пространстве. Однородность пространства это необходимое и достаточное условие для выполнения закона сохранения импульса (Теорема Э. Нётр).

Если на пространство наложены какие-то силовые поля (гравитация, электромагнитные и др.), то, вообще говоря, закон сохранения импульса выполняться не будет, так как пространство становится неоднородным в силовом поле.

Закон сохранения импульса (закон сохранения количества движения) утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.
Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Однако этот закон сохранения верен и в случаях, когда ньютоновская механика неприменима (релятивистская физика, квантовая механика).
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, — однородность пространства.

Следствием каких законов динамики является закон сохранения импульса?

Закон сохранения импульса является следствием законов Ньютона, основных законов динамики. Если объединить 2-й и 3-й законы Ньютона, получаем закон сохранения импульса.

Рассмотрим систему из нескольких тел, на каждое из которых действуют внутренние и внешние силы.

Внутренние силы — это силы, возникающие в результате взаимодействия тел системы.
Внешние силы — это силы, возникающие в результате взаимодействия тел системы с телами, не принадлежащими этой системе.

Запишем импульсы тел системы, используя одну из формулировок второго закона Ньютона: $$ \overrightarrow{p}_1 = \Delta t(\overrightarrow{F}_{1внеш}+\overrightarrow{F}_{1внутр}) \\ \overrightarrow{p}_2 = \Delta t(\overrightarrow{F}_{2внеш}+\overrightarrow{F}_{2внутр}) $$ Чтобы найти импульс системы нужно сложить импульсы каждого тела системы: $$ \overrightarrow{p}_{сист} = \Delta t(\overrightarrow{F}_{1внеш}+\overrightarrow{F}_{1внутр}+\overrightarrow{F}_{2внеш}+\overrightarrow{F}_{2внутр}) $$ А равнодействующая сила складывается из действия внешних и внутренних сил на каждое тело системы. Но, по третьему закону Ньютона, тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению. Иными словами, сумма внутренних сил системы всегда равна нулю: $$ \overrightarrow{p}_{сист} = \Delta t(\overrightarrow{F}_{1внеш}+\overrightarrow{F}_{2внеш}) $$ Таким образом, изменить импульс системы тел могут только внешние силы. Отсюда вытекает формулировка закона сохранения импульса: если сумма внешних сил равна нулю, то импульс системы тел сохраняется (то есть остается неизменным): $$ m_1\overrightarrow{v}_1+m_2\overrightarrow{v}_2+...+m_n\overrightarrow{v}_n = m_1\overrightarrow{u}_1+m_2\overrightarrow{u}_2+...+m_n\overrightarrow{u}_n $$ где \(\overrightarrow{v}_1, \overrightarrow{v}_2,...\overrightarrow{v}_n\) — начальные скорости тел, а \(\overrightarrow{u}_1, \overrightarrow{u}_2,...\overrightarrow{u}_n\) — конечные скорости тел.

Как связаны между собой закон сохранения импульса и третий закон Ньютона?

Эти законы связаны между собой так: 3 закон объясняет, что происходит с двумя материальными точками. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой, а вторая — на первую с силой.

Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия.

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению. Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно.

Закон сохранения импульса в природе

Закон сохранения импульса утверждает, что сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная. При движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Данный закон находит применение при создании современной ракетно-космической техники. Движение с помощью реактивной струи по закону сохранения импульса лежит в основе гидрореактивного двигателя. Кроме того, в основе движения многих морских животных (осьминогов, медуз, кальмаров, каракатиц) также лежит реактивный принцип.

Закон сохранения импульса: формула и определение

Закон сохранения импульса:
 а) Если система замкнута, т.е. внешние силы отсутствуют, или если их сумма равна нулю, то импульс системы сохраняется:
Σp = const.
б) Если внешние силы перпендикулярны некоторой оси x, то проекция импульса системы на это направление сохраняется:
Σpx = const

Ft = mv2 -mv1 закон сохранения импульса, импульс измеряется в единицах кг* м/сек
если система замкнута то есть отсутствуют внешние силы, то
m1v1+m2v2 = m1v1+ m2v2 где v вектор силы

Примеры закона сохранения импульса для абсолютно упругого и неупругого ударов: Абсолютно упругий: 
- закон сохранения импульса: \(m_1·v_{11} + m_2·v_{21} = m_1·v_{12} + m_2·v_{22}\) 
- закон сохранения механической энергии: \(m_1·v_{11}^2 + m_2·v_{21}^2 = m_1·v_{12}^2 + m_2·v_{22}^2\) 
Абсолютно неупругий: 
- закон сохранения импульса: \(m_1·v_{11} + m_2·v_{21} = (m_1+m_2)·v_2\) 
- закон сохранения механической энергии не выполняется.  

Как записать закон сохранения импульса в векторном виде

В наиболее компактной форме это, наверное, можно записать так:

В отсутствие внешней силы векторная сумма импульсов тел системы есть величина постоянная
$$ \sum m_{i} v_{xi} = const \\ \sum m_{i} v_{yi} = const \\ \sum m_{i} v_{zi} = const $$
i - от 1 до N, где N - количество тел, составляющих систему
\( v_{ki} \) проекция вектора скорости i-го тела на k-ю ось координат.

Или, другими словами, векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы – величина постоянная, если внешние силы, действующие на неё, отсутствуют, или же их векторная сумма равна нулю.

Каковы границы применимости закона сохранения импульса?

В физике под столкновениями понимают процессы взаимодействия между телами (частицами) в широком смысле слова, а не только в буквальном – как соприкосновение тел. Сталкивающиеся тела на большом расстоянии свободны. Проходя друг мимо друга, тела взаимодействуют, причём могут происходить различные процессы: соединение в одно тело (абсолютно неупругий удар), возникновение новых тел и, наконец, может иметь место упругое столкновение, при котором тела после некоторого сближения вновь расходятся без изменения своего внутреннего состояния.

Столкновения, сопровождающиеся изменением внутреннего состояния тел, называются неупругими.

Тела (частицы), участвующие в столкновении, характеризуются (до и после столкновения) импульсами, энергиями. Процесс столкновения сводится к изменению этих величин в результате взаимодействия. Законы сохранения энергии и импульса позволяют достаточно просто устанавливать соотношения между различными физическими величинами при столкновении тел. Особенно ценно здесь то обстоятельство, что зачастую законы сохранения могут быть использованы даже в тех случаях, когда действующие силы неизвестны. Так обстоит дело, например, в физике элементарных частиц.

Происходящие в обычных условиях столкновения макроскопических тел почти всегда бывают в той или иной степени неупругими – уже хотя бы потому, что сопровождаются нагреванием тел, т.е. переходом части их кинетической энергии в тепло. Но понятие об упругих столкновениях играет важную роль в физике, поскольку со столкновениями часто приходится иметь дело в физическом эксперименте в области атомных явлений, да и обычные столкновения можно часто с достаточной степенью точности считать упругими.

Сохранение импульса тел (частиц) при столкновении обусловлено тем, что совокупность тел, участвующих в столкновении, составляет либо изолированную систему, когда на входящие в систему тела не действуют внешние силы, либо систему замкнутую: внешние силы отличны от нуля, а сумма внешних сил равна нулю.

Несколько сложнее обстоит дело с применением закона сохранения энергии при столкновениях. В классической физике следует учитывать кинетическую и потенциальную энергии. В релятивистском случае надо применять выражение для энергии (как иногда, например, пишут "учитывать энергию покоя"). Обращение к сохранению энергии требует порой учёта различных форм внутренней энергии.

Действие законов сохранения импульса и энергии в процессах столкновения подтверждено всевозможными опытами.

Переходя к характерным примерам, напомним, что в физике при решении задач должна быть указана система отсчёта (тело отсчёта, оси координат и часы), в которой рассматривается динамика процесса. Исследование столкновений традиционно проводится как в лабораторной системе отсчёта (ЛСO), то есть в инерциальной системе отсчёта, связанной с лабораторией, где проводится опыт, так и в системе центра масс, которая будет введена в статье. Напомним также, что центральным ударом шаров (шайб) называют удар, при котором скорости шаров (шайб) направлены вдоль прямой, проходящей через их центры.