Закон сохранения импульса во многих случаях позволяет находить скорости взаимодействующих тел даже тогда, когда значения действующих сил неизвестны. Примером может служить реактивное движение.
Реактивное движение - это движение, возникающее при отделении от тела с некоторой скоростью какой-либо его части. Яркий пример реактивного движения - надутый воздухом воздушный шарик, который, если его развязать, приходит в движение.
Реактивная сила характеризуется тем, что возникает без взаимодействия с внешними телами.
Формула реактивного движения
На принципе отдачи основано реактивное движение. В ракете при сгорании топлива газы, нагретые до высокой температуры, выбрасываются из сопла с большой скоростью \(\overrightarrow{u}\) относительно ракеты. Обозначим массу выброшенных газов через m, а массу ракеты после истечения газов через M. Тогда для замкнутой системы "ракета + газы" на основании закона сохранения импульса (по аналогии с задачей о выстреле из орудия) можно записать:
$$ V=-\frac{m}{M}u $$где V – скорость ракеты после истечения газов. В данном случае предполагается, что начальная скорость ракеты равнялась нулю.
Полученная формула для скорости ракеты справедлива лишь при условии, что вся масса сгоревшего топлива выбрасывается из ракеты одновременно. На самом деле истечение происходит постепенно в течение всего времени ускоренного движения ракеты. Каждая последующая порция газа выбрасывается из ракеты, которая уже приобрела некоторую скорость.
Для получения точной формулы процесс истечения газа из сопла ракеты нужно рассмотреть более детально. Пусть ракета в момент времени t имеет массу M и движется со скоростью \(\overrightarrow{v}\).
В течение малого промежутка времени Δt из ракеты будет выброшена некоторая порция газа с относительной скоростью \(\overrightarrow{u}\). Ракета в момент t + Δt будет иметь скорость \(\overrightarrow{v}+\Delta\overrightarrow{v}\), а ее масса станет равной M + ΔM, где ΔM < 0.
Масса выброшенных газов будет, очевидно, равна –ΔM > 0.
Скорость газов в инерциальной системе OX будет равна \(\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{u}\).
Применим закон сохранения импульса. В момент времени t + Δt импульс ракеты равен:
$$ (M+\Delta M)(\overrightarrow{v}+\Delta\overrightarrow{v}) $$а импульс испущенных газов равен:
$$ (-\Delta M)(\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{u}) $$В момент времени t импульс всей системы был равен \(M\overrightarrow{v}\). Предполагая систему "ракета + газы" замкнутой, можно записать:
$$ M\overrightarrow{v} = (M+\Delta M)(\overrightarrow{v}+\Delta\overrightarrow{v}) - -\Delta M(\overrightarrow{v}+ \overrightarrow{u}) \;\;\text{или} \;\;\; M\Delta\overrightarrow{v} = \Delta M\overrightarrow{u}-\Delta M\Delta\overrightarrow{v}$$Величиной \(\Delta M \Delta\overrightarrow{v}\) можно пренебречь, так как |ΔM| << M. Разделив обе части последнего соотношения на Δt и перейдя к пределу при Δt → 0, получим:
$$ M\frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t} = \frac{\Delta M}{\Delta t}\overrightarrow{u}(\Delta t\rightarrow 0)\;\;\text{или} \;\;M\overrightarrow{\alpha}=-\mu\overrightarrow{u} $$Величина \(\mu= -\frac{\Delta M}{\Delta t}(\Delta t\rightarrow 0)\) есть расход топлива в единицу времени.
Величина \(-\mu\overrightarrow{u}\) называется реактивной силой тяги. Реактивная сила тяги действует на ракету со стороны истекающих газов, она направлена в сторону, противоположную относительной скорости.
Соотношение $$ M\overrightarrow{\alpha}=\overrightarrow{F}_p = -\mu\overrightarrow{u} $$ выражает второй закон Ньютона для тела переменной массы. Если газы выбрасываются из сопла ракеты строго назад, то в скалярной форме это соотношение принимает вид:
$$ M\alpha = \mu u $$где u – модуль относительной скорости. С помощью математической операции интегрирования из этого соотношения можно получить формулу для конечной скорости v ракеты:
$$ \boxed{v=u \ln(\frac{M_0}{M})} $$где \(\frac{M_0}{M}\) – отношение начальной и конечной масс ракеты.
Эта формула называется формулой Циолковского. Из нее следует, что конечная скорость ракеты может превышать относительную скорость истечения газов.
Ускорение a тела переменной массы равно \(a = \frac{1}{m}(F + F_p)\) где \(F_p = (v_1 - v)\frac{dm}{dt} = u\frac{dm}{dt}\) - реактивная сила, равная произведению производной по времени от массы тела на относительную скорость \(u = v_1 - v\) присоединяющейся или отделяющейся массы.
Уравнение Мещерского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное Иваном Мещерским в 1904 году. Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения. Уравнение Мещерского является частным случаем второго закона Ньютона: \(\overrightarrow{F}=\frac{d\overrightarrow{p}}{dt}\) для случая, когда масса непостоянна. Оно имеет вид:
$$ m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{F}+\overrightarrow{u}_1\frac{dm_1}{dt}+\overrightarrow{u}_2\frac{dm_2}{dt} $$где: m — переменная масса тела;
v — скорость движения тела переменной массы;
F — внешние силы (сопротивление среды и т.п.);
\(\overrightarrow{u}_1=\overrightarrow{v}_1-\overrightarrow{v}\) — относительная скорость отделяющихся частиц;
\(\overrightarrow{u}_2=\overrightarrow{v}_2-\overrightarrow{v}\) — относительная скорость присоединяющихся частиц;
\(\frac{dm_1}{dt}\lt 0 \)— секундный расход массы;
\(\frac{dm_2}{dt}\gt 0 \)— секундный приход массы
Следовательно, ракета может быть разогнана до больших скоростей, необходимых для космических полетов. Но это может быть достигнуто только путем расхода значительной массы топлива, составляющей большую долю первоначальной массы ракеты. Например, для достижения первой космической скорости \(v = v_1 = 7,9·10^3\) м/с при \(u = 3·10^3\) м/с (скорости истечения газов при сгорании топлива бывают порядка 2–4 км/с) стартовая масса одноступенчатой ракеты должна примерно в 14 раз превышать конечную массу.
Для достижения конечной скорости v = 4u отношение \(\frac{M_0}{M}\) должно быть равно 50.
Значительное снижение стартовой массы ракеты может быть достигнуто при использовании многоступенчатых ракет, когда ступени ракеты отделяются по мере выгорания топлива. Из процесса последующего разгона ракеты исключаются массы контейнеров, в которых находилось топливо, отработавшие двигатели, системы управления и т.д. Именно по пути создания экономичных многоступенчатых ракет развивается современное ракетостроение.
Реактивные двигатели: виды и устройство
Реактивные двигатели подразделяются на воздушно-реактивные и на ракетные.
На борту летательного аппарата с воздушно-реактивным двигателем содержится только энергоноситель, а окислителем и рабочим веществом, истечение которого создает тягу, служит атмосферный воздух.
Воздушно-реактивные двигатели захватывают атмосферный воздух, сжимают н нагревают его и с увеличенной скоростью отбрасывают через выходное сопло. За счет прироста количества движения потока и неуравновешенных сил давления в выходном сечении возникает реактивная тяга.
Наиболее распространены два вида ВРД: турбореактивные и прямоточные.
Турбореактивные двигатели состоят из воздухозаборннка; ротационного компрессора, вращаемого газовой турбиной; камер сгорания и реактивного сопла.
Давление воздуха, сжимаемого компрессором, увеличивается в 4-10 раз. Сжатый воздух поступает в камеры сгорания, куда также впрыскивается энергоноситель. В этой камере теплосодержание и температура продуктов сгорания увеличиваются в два-три раза. Продукты сгорания проходят через газовую турбину, имеющую одну, две или три ступени, и приводят во вращение ее колесо, расположенное на одном валу с ротором компрессора. Теплосодержание газа перед турбиной больше, чем за компрессором; поэтому (при равенстве работы, затраченной газом на вращение турбокомпрессора работе расходуемой компрессором на сжатие воздуха) понижение давления в турбине меньше повышения давления в компрессоре и скорость истечения из сопла больше скорости набегания: возникает реактивная тяга, равная приросту импульса захватываемого воздуха. С увеличением подогрева теплоперепад на турбине возрастает, скорость вращения турбокомпрессора увеличивается и реактивная тяга растет. Температура газов перед турбиной ограничена термостойкостью лопаток. Для увеличения тяги на сверхзвуковых IРД за турбиной устанавливают "форсажные камеры", в которых дожигают дополнительное количество горючего, так чтобы температура достигала максимально возможной величины. Тяга возрастает при этом в тем большей мере, чем больше скорость полета.
Применение ТРД становится целесообразным при скорости полета не менее 800 км/час.
Турбины газотурбинных двигателей, на которых используется весь перепад давлений, развивают большую мощность, чем требуется для вращения компрессора. Избыток мощности может служить для привода воздушного винта: так устроены турбовинтовые двигатели (ТВД), пригодные при скоростях полета в 600—800 км/час.
Прямоточные воздушно-реактивные двигатели (ПВРД) состоят из воздухозаборника, в котором давление повышается за счет скоростного напора набегающего потока, камер сгорания и выходного сопла.
При нагревании воздуха его удельный объем возрастает, скорость движения увеличивается и возникает реактивная тяга. В неподвижном воздухе ПВРД не может развивать тяги, так как у него отсутствуют приспособление для засасывания воздуха; самолеты или снаряды, оснащенные такими двигателями, нуждаются в принудительном запуске, например при помощи стартовых ракет.
Прямоточные ВРД — единственные двигатели, пригодные для наиболее скоростных самолетов (М > 4). Турбореактивные двигатели (и тем более винтовые) при такой скорости полета работать не могут.
Ракетные двигатели подразделяются на пороховые ракетные двигатели (ПРД) и на жидкостные ракетные двигатели (ЖРД).
Рабочее вещество, находящееся на борту ракеты, неподвижно относительно двигателя. Формула реактивной тяги для них: $$ R=\frac{Gw_2}{g} $$ Здесь G - расход рабочего вещества в кг/сек, \(\omega_2\) — скорость истечения в м/сек. Сила тяги ракеты зависит только от перепада давления и не зависит от температуры газов, так как скорость исте-чения прямо пропорциональна корню из RT, а расход обратно пропорционален величине RT.
Пороховые ракеты (ПРД) состоят из камеры сгорания с пороховым составом, выходного сопла и запального устройства.
Жидкостные ракетные двигатели (ЖРД) состоят из камеры сгорания с форсунками и запальными приспособлениями, сопла, турбонасосов и баков с горючим и окислителями.
Примеры реактивного движения тел в природе
Реактивное движение, используемое ныне в самолетах, ракетах и космических снарядах, свойственно осьминогам, кальмарам, каракатицам, медузам – все они, без исключения, используют для плавания реакцию (отдачу) выбрасываемой струи воды. Например, кальмар передвигается по принципу реактивного движения, вбирая в себя воду, а затем с огромной силой проталкивая ее через "воронку", и с большой скоростью (около 70 км/час) двигается толчками назад.
Примеры реактивного движения можно обнаружить и в мире растений. В южных странах (и у нас на побережье Черного моря) произрастает растение под названием "бешеный огурец". Стоит только слегка прикоснуться к созревшему плоду, похожему на огурец, как он отскакивает от плодоножки, а через образовавшееся отверстие из плода фонтаном со скоростью до 10 м/с вылетает жидкость с семенами. Сами огурцы при этом отлетают в противоположном направлении. Стреляет бешеный огурец (иначе его называют "дамский пистолет") более чем на 12 м.
Кто первым предложил использовать реактивные двигатели для космических полетов?
Ф.А. Цандер, инженер-технолог, конструктор, первым предложил использовать реактивные двигатели.
Никола́й Ива́нович Киба́льчич 19 [31] октября 1853, — 3 [15] апреля 1881 — русский революционер, народоволец, изобретатель, участник покушения на Александра II. Н.И. Кибальчич выдвинул идею ракетного летательного аппарата с качающейся камерой сгорания для управления вектором тяги. За несколько дней до казни Кибальчич разработал оригинальный проект летательного аппарата, способного совершать космические перелёты. Его просьба о передаче рукописи в Академию наук следственной комиссией удовлетворена не была, проект был впервые опубликован лишь в 1918 году в журнале «Былое», № 4—5.
