Тело, брошенное под углом 60⁰ к горизонту с начальной скоростью 30м/с. На какой высоте вектор скорости составит угол 45⁰ с горизонтом?

На высоте примерно 23 м.
см. Приложения.
Лист Excel "живой", можно подставить новые значения.
Лист защищен без пароля, чтобы случайно не повредить формулы.

На какой высоте вектор скорости тела, брошенного под углом 45 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с, будет составлять с горизонтом угол 30 градусов? Cопротивление воздуха не учитывать.

Vy / vx = tg(30°) = 1/корень(3)
vy = vx / корень(3)
v₀x = v₀ * cos(45°) => v₀ / корень(2) = v₀y
vy = v₀ / (корень(2)*корень(3))
vy² - v₀y² = 2*g*h
h = (vy² - v₀y²) / (2*g) = ((v₀ / (корень(2)*корень(3))² - (v₀ / корень(2))²) / (2*g) = (v₀² / (2*3) - v₀² / 2) / (2*g)
h = ((10 м/с)² / 6 - (10 м/с)² / 2) / (2*(-10 м/с²)) = (16,7 м²/с² - 50 м²/с²) / ( - 20 м/с²) = 14,2 м

Два шарика движутся по взаимно перпендикулярным направлениям. Первый шарик массой m1 = 5 кг движется со скоростью v1 = 2 м/с в положительном направлении оси Ох. Второй шарик массой m2 = 10 кг движется со скоростью v2 = 1 м/с в положительном направлении оси Оу. После абсолютно неупругого соударения шары двигаются как единое целое. Найдите скорость vv шаров после соударения. Какой угол составляет вектор скорости v→ с осью Ох?

Первый шарик несет импульс вдоль оси икс
\( p_x = m_1v_1 \)
Второй шарик несет импульс вдоль оси игрек
\( p_y = m_2v_2 \)
По закону сохранения импульса, такие же проекции будут у импульса слипшихся шариков. Так как он равен скорости слипшихся шариков (v) на их суммарную массу, имеем
\( v_x = \frac{m_1v_1}{m_1+m_2}\\\\ v_y = \frac{m_2v_2}{m_1+m_2}\\\\ 1)\tan\alpha = v_y/v_x = \frac{m_2v_2}{m_1v_1}=1 \rightarrow \alpha = 45^\circ\\\\ 2) v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \frac{\sqrt{m_1^2v_1^2+m_2^2v_2^2}}{m_1+m_2}=\sqrt{200}/{15} = 0.94 \)

Под каким углом a к горизонту следует бросить камень с начальной скоростью v =20 м/с, чтобы за время t= 0,2 с после старта вектор скорости камня:
а) уменьшился по величине на 1,0 м/с,
б) повернулся на угол, равный 1 градусу?

Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, 10 м/с.  
Спустя 0,5с скорость камня стала равной 7 м/с.  
На какую максимальную высоту над первоначальным уровнем поднимается камень?
Дано 
Vo = 10 м/c
t1 = 0,5 c
V1 =7 м/c
Найти h
Решение 
Разложим скорость V на вертикальную Vy и горизнтальную Vx составляющие.
Где Vx=V*cos(a);  Vy=V*sin(a)
V=корень(Vx^2+Vy^2)
где a-угол наклона скорости к горизонту.  
Запишемуравнения движения камня
Горизонтальная составляющая скорости постоянна во времени
Vx =Vo*cos(a) -const
Sx=Vx*t 
Vy=Voy-gt =Vo*sin(a)-gt
Sy =Voy*t -gt^2/2 =Vo*sin(a)*t - gt^2/2
По заданию при t1=0,5 c. V1=7м/с
V1y=Vo*sin(a)-gt1
Подставим это выражения в формулу полной скорости
V1=корень(V1x^2+V1y^2) = корень((Vo*cos(a))^2 +(Vo*sin(a)-gt1)^2)=
=корень(Vo^2*cos^2(a)  + Vo^2*sin^2(a) - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2)=
=корень(Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2)
   корень(Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2) =V1
Возведем обе части в квадрат и найдем sin(a)
    Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2 = V1^2
      2Vo*g*t1*sin(a) = Vo^2 + g^2*t1^2 - V1^2
        sin(a) =(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)/(2Vo*g*t1)
На самой максимальной высоте вертикальная составляющая скорости равна нулю
Vy=0  или Vo*sin(a) -gt =0
                 t = Vo*sin(a)/g
Максимальная высота подъема составит
 h = Vo*sin(a)t - gt^2/2 = Vo^2*sin^2(a)/g - g*Vo^2*sin^2(a)/(2g^2) =
 = Vo^2*sin^2(a)/g - Vo^2*sin^2(a)/(2g) = Vo^2*sin^2(a)/(2g)
Подставим в формулу выражение для sin(a)
h= Vo^2*sin^2(a)/(2g) = Vo^2*(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)^2/(2Vo*g*t1)^2/(2g)=
=(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)^2/(g*t1)^2/(8g) =(1/(8g)) ((Vo^2-V1^2)/(g*t1) +gt1)^2
Подставим числовые значения и найдем h
h =(1/(8*9,81))((10^2-7^2)/(9,81*0,5)+9,81*0,5)^2 =2,98 м 
Если принять что g=10 м/с^2
h =(1/(8*10))((10^2-7^2)/(10*0,5)+10*0,5)^2 =2,888 м
Ответ : 2,98 м

Шайба, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с такой же по массе покоящейся шайбой. В результате абсолютно упругого соударения вектор скорости налетающей шайбы повернулся на угол а=пи/3. Под каким углом а2 к направлению движения налетающей шайбы будет двигаться вторая шайба?

Пусть V0 - скорость налетевшей шайбы
V1 - ее скорость после удара
V2 - скорость стоячей шайбы после удара
Закон сохранения энергии - удар упругий
V0^2=V1^2+V2^2
Закон сохранения импульса по оси удара X
V0= V1/2+V2x
Закон сохранения импульса по оси, перпендикулярной удару У.
V1*√3/2=V2y
Теорема Пифагора
V2y^2+V2x^2=V2^2
V1^2*3/4+V0^2+V1^2/4-V1*V0=V0^2-V1^2
V1^2+V0^2-V1V0=V0^2-V1^2
V1=V0/2
V2x=3/4V0
V2y= √3/4V0
tg a= V2y/V2x= 1/√3
a= π/6