Тело массой = 0,5 кг падает свободно с высоты 10 метров. На высоте 5 метров в тело попадает и застревает в нём пуля массой = 10 грамм, летевшая горизонтально со скоростью 500 м/с. Найти величину скорости тела и угол, который образует вектор скорости с горизонтом в момент после удара.

По ЗСИ mV1+MV2=(m+M)V
откуда V= (mV1+MV2)/(m+M) 
скорость тела массой M=0,5 кг нам неизвестна
Однако мы знаем высоту падения и столкновения
отсюда можно узнать время h=gt^2/2, тогда t=корень из (2h/g)
или корень из 2*5/10=1 т. Е 1 секунда.  Тогда узнаём скорость из формулы V=V0+at
V0=0 a=g, тогда V=gt=10*1=10м/c 
Теперь считаем (0,01*500 + 10*0,5)/(0,5*0.01)=19,6 м/c т. Е это будет скорость системы после удара.  Теперь ищем угол.
По отдельности импульсы равны по 5  т. К  mV1=5  кг*м/c и   MV2 тоже=5  кг*м/c
Авторы задачи не парились, т. Е угол будет равный как с вертикалью, так и с горизонтом.  А значит равен 45 градусов.

Тело брошено под углом 60 градусов к горизонту с начальной скоростью 21 м/с. На какой высоте вектор скорости будет составлять с горизонтом угол 30 градусов?

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на горизонтальную ось (это делать можно, так как нет никаких сторонних сил, дающих проекцию на эту ось. Проще говоря, горизонтальная проекция импульса в полете сохраняется).
В начальный момент времени, \( p(0)=m v_0\cdot \cos (\frac {\pi}{3}); \)
В искомый момент времени, \( p(t)=mv\cdot \cos(\frac{\pi}{6}); \)
Более того, в силу закона сохранения импульса, \( p(0)=p(t) \)
Приравниваем.
\( m v_0\cdot \cos (\frac {\pi}{3})=m v\cdot \cos (\frac {\pi}{6}) \)
Выразим отсюда скорость в искомый момент времени.
\( v(t)=v_0\cdot \frac{\cos (\frac{\pi}{3})}{\cos (\frac{\pi}{6})} \)
А теперь кинематика. В проекциях на вертикальную ось, \( v(t)=v_0-gt \)
Приравняем и найдем время.
\( v_0\cdot \frac{\cos (\frac{\pi}{3})}{\cos (\frac{\pi}{6})}=v_0-gt;\\t=\frac {v_0}{g}\cdot \left(1-\frac{\cos (\frac{\pi}{3})}{\cos (\frac{\pi}{6})}\right) \).
Теперь, снова запишем кинематику в проекциях на вертикальную ось: \( v_0t-\frac{gt^2}{2}=h \).
Подставляя сюда время, находим ответ. (сразу напишу его, потому что подстановка оказывается очень громоздкой, и только под конец почти все численные слагаемые убиваются).
\( \boxed{h=\frac {v_0^2}{3g}}=14,7 \)
Ответ: 14,7 м.

Куб с длиной ребра 1 метр двигается относительно к земному наблюдателю со скоростью 75% от скорости света в вакууме. Вектор скорости направлен перпендикулярно двум противоположным граням куба. Определить объём куба относительно земного наблюдателя.

Перпендикулярные направления сохраняются, параллельные сокращаются, следовательно, объем сокращается в такой же мере, что и длина параллельного направления.
Объем в собственной ск = 1, в лабораторной ск объем равен sqrt(1 - v^2/c^2) = sqrt(3)/2
Линейные размеры куба меняются в направлении движения куба
пусть а- ребро куба относительно СО где куб покоится
V1=a^3 - объем в покое
L=a*√1- (0,75*c)^2/c^2=a*√1-9/16=a*√7/4 длина ребра куба в направлении движения
V=a^2*L=a^3*√7/4=0,66143 м3

Теннисный мячик, двигавшийся со скоростью v1, испытывает абсолютно упругое соударение с ракеткой, движущейся ему навстречу со скоростью v2. Вектор скорости мячика в момент удара направлен под углом 45° к плоскости ракетки. Определите величину и направление скорости мячика после отскока от ракетки.

Дано:
v₁
v₂
α=45°
Найти: v, β
Решение:
Если бы ракетка была неподвижна, то мячик отскочил бы под таким же углом и таким же модулем скорости. Этот вектор скорости имеет координаты:
v₁(x)=v₁ cosα=v₁/√2
v₁(y)=v₁ sinα=v₁/√2
v₁(v₁/√2; v₁/√2)
Но ракетка сообщит ему еще одну составляющую v₂. Его координаты
v₂(x)=v₂
v₂(y)=0
v₂(v₂; 0)
Результирующая скорость мяча v является векторной суммой векторов v₁ и v₂. Тогда его координаты:
v(v₂+v₁/√2; v₁/√2)
Из геометрии прямоугольного треугольника имеем
Модуль искомой скорости
v=√((v₂+v₁/√2)²+(v₁/√2)²)=√(v₂²+v₂v₁√2+v₁²)
tgβ=(v₂+v₁/√2)/(v₁/√2)=(v₂√2+v₁)/v₁
β=arctg((v₂√2+v₁)/v₁)
Ответ: v=√(v₂²+v₂v₁√2+v₁²); β=arctg((v₂√2+v₁)/v₁)

Мяч бросили с поверхности Земли под углом 45 градусов со скорость V0= 20 м/с. За какое время вектор скорости мяча повернётся на угол 90 градусов? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения g=10 м/с^2.

Поскольку угол 45°, то горизонтальная составляющая равна вертикальной и согласно теореме Пифагора равна корню из 20, что составляет 4.47 с. Составим уравнение изменения вертикальной составляющей скорости, учтя направление оси координат вверх V=V0 – a·t или - 4.47 = 4.47 – a·t решив уравнение, получим 0.9 с.

Тело, брошенное под углом 60⁰ к горизонту с начальной скоростью 30м/с. На какой высоте вектор скорости составит угол 45⁰ с горизонтом?

На высоте примерно 23 м.
см. Приложения.
Лист Excel "живой", можно подставить новые значения.
Лист защищен без пароля, чтобы случайно не повредить формулы.

На какой высоте вектор скорости тела, брошенного под углом 45 градусов к горизонту с начальной скоростью 10 м/с, будет составлять с горизонтом угол 30 градусов? Cопротивление воздуха не учитывать.

Vy / vx = tg(30°) = 1/корень(3)
vy = vx / корень(3)
v₀x = v₀ * cos(45°) => v₀ / корень(2) = v₀y
vy = v₀ / (корень(2)*корень(3))
vy² - v₀y² = 2*g*h
h = (vy² - v₀y²) / (2*g) = ((v₀ / (корень(2)*корень(3))² - (v₀ / корень(2))²) / (2*g) = (v₀² / (2*3) - v₀² / 2) / (2*g)
h = ((10 м/с)² / 6 - (10 м/с)² / 2) / (2*(-10 м/с²)) = (16,7 м²/с² - 50 м²/с²) / ( - 20 м/с²) = 14,2 м

Два шарика движутся по взаимно перпендикулярным направлениям. Первый шарик массой m1 = 5 кг движется со скоростью v1 = 2 м/с в положительном направлении оси Ох. Второй шарик массой m2 = 10 кг движется со скоростью v2 = 1 м/с в положительном направлении оси Оу. После абсолютно неупругого соударения шары двигаются как единое целое. Найдите скорость vv шаров после соударения. Какой угол составляет вектор скорости v→ с осью Ох?

Первый шарик несет импульс вдоль оси икс
\( p_x = m_1v_1 \)
Второй шарик несет импульс вдоль оси игрек
\( p_y = m_2v_2 \)
По закону сохранения импульса, такие же проекции будут у импульса слипшихся шариков. Так как он равен скорости слипшихся шариков (v) на их суммарную массу, имеем
\( v_x = \frac{m_1v_1}{m_1+m_2}\\\\ v_y = \frac{m_2v_2}{m_1+m_2}\\\\ 1)\tan\alpha = v_y/v_x = \frac{m_2v_2}{m_1v_1}=1 \rightarrow \alpha = 45^\circ\\\\ 2) v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \frac{\sqrt{m_1^2v_1^2+m_2^2v_2^2}}{m_1+m_2}=\sqrt{200}/{15} = 0.94 \)

Под каким углом a к горизонту следует бросить камень с начальной скоростью v =20 м/с, чтобы за время t= 0,2 с после старта вектор скорости камня:
а) уменьшился по величине на 1,0 м/с,
б) повернулся на угол, равный 1 градусу?

Начальная скорость камня, брошенного под углом к горизонту, 10 м/с.  
Спустя 0,5с скорость камня стала равной 7 м/с.  
На какую максимальную высоту над первоначальным уровнем поднимается камень?
Дано 
Vo = 10 м/c
t1 = 0,5 c
V1 =7 м/c
Найти h
Решение 
Разложим скорость V на вертикальную Vy и горизнтальную Vx составляющие.
Где Vx=V*cos(a);  Vy=V*sin(a)
V=корень(Vx^2+Vy^2)
где a-угол наклона скорости к горизонту.  
Запишемуравнения движения камня
Горизонтальная составляющая скорости постоянна во времени
Vx =Vo*cos(a) -const
Sx=Vx*t 
Vy=Voy-gt =Vo*sin(a)-gt
Sy =Voy*t -gt^2/2 =Vo*sin(a)*t - gt^2/2
По заданию при t1=0,5 c. V1=7м/с
V1y=Vo*sin(a)-gt1
Подставим это выражения в формулу полной скорости
V1=корень(V1x^2+V1y^2) = корень((Vo*cos(a))^2 +(Vo*sin(a)-gt1)^2)=
=корень(Vo^2*cos^2(a)  + Vo^2*sin^2(a) - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2)=
=корень(Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2)
   корень(Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2) =V1
Возведем обе части в квадрат и найдем sin(a)
    Vo^2 - 2Vo*g*t1*sin(a) + g^2*t1^2 = V1^2
      2Vo*g*t1*sin(a) = Vo^2 + g^2*t1^2 - V1^2
        sin(a) =(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)/(2Vo*g*t1)
На самой максимальной высоте вертикальная составляющая скорости равна нулю
Vy=0  или Vo*sin(a) -gt =0
                 t = Vo*sin(a)/g
Максимальная высота подъема составит
 h = Vo*sin(a)t - gt^2/2 = Vo^2*sin^2(a)/g - g*Vo^2*sin^2(a)/(2g^2) =
 = Vo^2*sin^2(a)/g - Vo^2*sin^2(a)/(2g) = Vo^2*sin^2(a)/(2g)
Подставим в формулу выражение для sin(a)
h= Vo^2*sin^2(a)/(2g) = Vo^2*(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)^2/(2Vo*g*t1)^2/(2g)=
=(Vo^2+(g*t1)^2-V1^2)^2/(g*t1)^2/(8g) =(1/(8g)) ((Vo^2-V1^2)/(g*t1) +gt1)^2
Подставим числовые значения и найдем h
h =(1/(8*9,81))((10^2-7^2)/(9,81*0,5)+9,81*0,5)^2 =2,98 м 
Если принять что g=10 м/с^2
h =(1/(8*10))((10^2-7^2)/(10*0,5)+10*0,5)^2 =2,888 м
Ответ : 2,98 м

Шайба, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, сталкивается с такой же по массе покоящейся шайбой. В результате абсолютно упругого соударения вектор скорости налетающей шайбы повернулся на угол а=пи/3. Под каким углом а2 к направлению движения налетающей шайбы будет двигаться вторая шайба?

Пусть V0 - скорость налетевшей шайбы
V1 - ее скорость после удара
V2 - скорость стоячей шайбы после удара
Закон сохранения энергии - удар упругий
V0^2=V1^2+V2^2
Закон сохранения импульса по оси удара X
V0= V1/2+V2x
Закон сохранения импульса по оси, перпендикулярной удару У.
V1*√3/2=V2y
Теорема Пифагора
V2y^2+V2x^2=V2^2
V1^2*3/4+V0^2+V1^2/4-V1*V0=V0^2-V1^2
V1^2+V0^2-V1V0=V0^2-V1^2
V1=V0/2
V2x=3/4V0
V2y= √3/4V0
tg a= V2y/V2x= 1/√3
a= π/6