Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окружности радиусом 10 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы не упасть? Ответ выразить в градусах.

Центростремительное ускорение  a=v^2/R
центростремительная сила Fц=ma=mv^2/R
горизонтальная составляющая силы тяжести  Fx=F/tg∠a=mg/tg∠a
чтобы не упасть Fц =Fx
mv^2/R =mg/tg∠a
tg∠a=g*R/v^2 =10*10/10^2 =1
tg = 1 - это угол  45 град
ответ ∠a=45

Чему равен радиус окружности по которой тело, движущееся со скоростью 72км/ч совершает один оборот за 10с?

V=W*R
R=V/W
V=72*1000/3600=20
W=2*Pi/T
T=10 - период вращения - время одного оборота, по определению.
R= V*T/2*Pi=20*10/(2*3,14)=4,7 м

Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окружности радиусом 30 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?

В системе отсчета, связанной с конькобежцем, На него действуют силы:
-сила тяжести mg, центробежная сила m(V^2)/R - обе приложены в центре тяжести
-нормальная реакция, сила трения-обе приложены в точке контакта со льдом(эти силы не потребуются)
Конькобежец находится в равновесии, когда равнодействующая силы тяжести и центробежной силы, проходит через точку контакта. Угол наклона этой равнодействующей и будет искомый.
Теперь используем условие равновесия: сумма моментов всех сил должна быть равна нулю. Моменты находим относительно точки касания:
mg*h*cosA+ [m(V^2)/R]*h*sinA=0
ctgA=(V^2)/Rg=10^2/30*10=1/3 А=72град.
h-расстояние от центра тяжести до точки контакта.

Шар, подвешенный на нити, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. Какое направление имеет вектор равнодействующей всех сил, приложенных к нему?
Варианты ответов:
2
Равнодействующая всех сил равна нулю.
4
1
3

Вектор равнодейсвующей  силы совпадает с вектором ускорения, вектор ускорения направлен к центру, поэтому я считаю что будет 2, (при данном рисунке 21). 
И ещё. Когда пишешь задание, не забывай выставить рисунок, а то так тебе никто не ответит.

Тело движется равномерно по окружности радиусо 0,5м, обладая кинетической энергией 10Дж. Какова сила, действующая на тело? Как она направлена? Чему равна работа этой силы?

E=m*V^2/2
F=m*V^2/R
F/E=2/R
F=2*E/R=2*10/0,5=40 Н
Эта сила направлена к центру окружности
Работа этой силы равна нулю, так как угол между V и F  равен 90 градусов

Спутник движется по окружности с прстоянной скоростью на небольшой высоте над планетой. Период обращения спутника равен 24 ч. Определите среднюю плотность планеты

Линейная скорость на орбите
v = 2пR/T
Из равенства ускорений силы тяжести и центростремительного при допущении h << R
следует, что
v²/R = GM/R²
4п²/T² = GM/R³
M = ρV = ρ4пR³/3
4п²/T² = Gρ4пR³/3R³ = Gρ4п/3
п/T² = Gρ/3
ρ = 3п/GT²
G = 6,67·10 ⁻¹¹ м³·с ⁻²·кг ⁻¹
T = 24*3600 = 8.64·10⁴ c
ρ= 3*3.14*10⁻⁸*10¹¹/(6.67*8.64²) = 0.0189·10³ кг м⁻³

Тело движется по:
а) прямолинейной траектории с увеличивающейся по модулю скоростью.
б) по прямолинейной траектории с уменьшающейся по модулю скоростью.
в) по окружности с постоянной по модулю скоростью.
КАК НАПРАВЛЕНА В КАЖДОМ СЛУЧАЕ СУММА ВСЕХ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТЕЛО?

а) прямолинейной траектории с увеличивающейся по модулю скоростью - сила направлена по направлению скорости, ускорение направлено по скорости и поэтому скорость увеличивается.
б) по прямолинейной траектории с уменьшающейся по модулю скоростью - сила направлена против направления скорости, ускорение направлено против скорости и поэтому скорость уменьшается.
в) по окружности с постоянной по модулю скоростью - сила перпендикулярна направлению скорости, у тела центростремительное ускорение, перпендикулярное скорости, тело движется с постоянной по модулю скоростью  по окружности.

Гирька массой 100 г, привязанная к резиновому шнуру, вращается с угловой скоростью 10 рад/с по окружности в горизонтальной плоскости так, что шнур составляет угол 60° с вертикалью. Найти длину нерастянутого шнура, если его жесткость 40 Н/м.

Где $T=k(L-L0)$
$a=\omega ^{2} R$
$\omega =2 \pi n$
$L=R sin \alpha$ 
на гирьку действуют силы тяжести, упругости
2 закон Ньютона
в векторном виде
$ma=T+mg$
в проекции на ось х
$ma=Tsin \alpha$
проекция на ось у
$0=Tcos \alpha -mg$
Ответ : L0=g(L*m*(2*pi*n) ^2-F)/((2*pi*n) ^2*(mg-F*cos(alpha))

Если тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью, то равнодействующая всех приложенных к нему сил...?

На тело, движущееся по окружности с постоянной скоростью
действует сила $F=ma=m \frac{v ^{2} }{R}$
модуль силы не меняется, направление в цент по радиусу перпендикулярно скорости, тк скорость меняет направление при движении по окружности, сила будет менять свое направление т.е. не равна нулю, постоянна по модулю,  изменяется со временем по направлению

Шар, подвешенный на нити, движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости. Какое направление имеет вектор равнодействующей всех приложенных к нему сил

На шар действуют 2 силы: сила тяжести и сила упругости нити. Если разложить вектор силы упругости по осям Х и Y, то ее Y-ковая составляющая будет компенсировать силу тяжести. Остаётся только X-овая составляющая, направленная в центр окружности, по которой движется шарик. Это и есть равнодействующая всех сил.