Массивный шарик, привязанный упругой нитью к потолку, вращается по окружности в горизонтальной плоскости так, что нить подвеса описывает в пространстве конус. Угол между вертикалью и нитью подвеса равен 18 градусов. Кинетическая энергия шарика равна Ek=8,6 Дж
При вращении относительное увеличение длины нити подвеса составляет
δ=ℓ−ℓ0/ℓ0=10%, где ℓ0 - длина нити в не растянутом состоянии.
Найдите потенциальную энергию растянутой нити. Ответ представить в джоулях. Ускорение свободного падения считать равным g=9,8 м/с^2

Если длина нити ℓ, то радиус вращения равен из геометрии ℓ*sinα. Запишем второй закон Ньютона (проекция силы упругости нити T*sinα)
$m\frac{v^2}{l\sin\alpha} = T\sin\alpha\\\\ m\frac{v^2}{2} = 0.5Tl\sin^2\alpha = E_k$
Вспомним что T = k(ℓ-ℓ₀) где k - коэффициент упругости нити
$0.5k(l-l_0)l\sin^2\alpha = E_k\\\\ k = \frac{2E_k}{l(l-l_0)\sin^2\alpha}\\\\ $
Найдем потенциальную энергию
$E_p = \frac{k(l-l_0)^2}{2} = \frac{E_k(l-l_0)^2}{l(l-l_0)\sin^2\alpha} = E_k\frac{(l-l_0)/l}{\sin^2\alpha} = \\\\ \frac{E_k}{\sin^2\alpha}\frac{l-l_0}{l_0}\frac{l_0}{l} = \frac{E_k}{\sin^2\alpha}\delta(l/l_0)^{-1} = \frac{E_k}{\sin^2\alpha}\delta(1+\delta)^{-1} = \\\\ \frac{E_k\delta}{\sin^2\alpha(1+\delta)}$

В 0 часов 0 минут часовая и минутная стрелки совпадают. Каково будет показание часов в момент, ближайший к 0 часам 0 минутам, когда стрелки снова совпадут. Циферблат разделен на 12 часов.

Пусть циферблат разделен на 60 делений. Условную скорость минутной стрелки считаем равной 1.
То-есть каждую минуту минутная стрелка поворачивается на одно минутное деление.
Тогда скорость часовой стрелки 1/12.
Учитываем, что в первом часу встреча стрелок не произойдёт, а только в начале второго часа. Поэтому в формулу добавляем 60 минут.
Решаем уравнение t=60+(t/12); t=(60*12)/11≈65.4545 минуты≈
≈1час 5 мин. 27.3 сек.

Начиная с 1900 года, соревнования по метанию молота(тяжелого металлического шара на длинном тонком тросе с рукояткой) входит в программу Олимпийских игр. Перед броском спортсмен раскручивает молот, держа его за рукоятку. При этом скорость движения шара по окружности достигает 30м/с, а сила, с которой спортсмен удерживает рукоятку, превышает вес молота в 45 раз. Каков радиус окружности, по которой движется шар?

ma=mv^2/r=F=45*mg
mv^2/r=45*mg
r = v^2/(45*g)=30^2/(45*10) м = 2 м

Груз массы m привязан к одному концу пружины жёсткости k, другой конец пружины закреплён. Найти длину недеформированной пружины, если при вращении груза вокруг закреплённого конца пружины с угловой скоростью ω пружина растягивается до длины l.

Дано: l, ω, k
Найти: L
Решение:
L = l - ∆x
Это, кстати, движение по окружности.
На тело действуют ДВЕ силы: mg (сила тяжести) и Fу (сила упругости). Никаких там других сил выдумывать не надо!
Ускорение, приобретаемое телом равно v²/R = ω²R
Запишем второй закон Ньютона по оси, направленной от тела к оси вращения (оси n)
on: Fу·sinα = ω²R. Отсюда и будем плясать.
sinα = R/l => R = l·sinα
Раскроем нашу запись второго закона Ньютона:
k·∆x·sinα = ω²l·sinα
Пооучим величину удлиннения ∆x:
∆x = ω²l/k
В итоге:
L = l·(1 - ω²/k)

Материальная точка двигается равномерно со скоростью 6 м/c по окружности радиусом 30 см. На какой угол повернется эта точка через 0,2 c после начала движения?

Полный оборот S=piD=3,14*60=31,4*6=188,4 cм
Время оборота=S/V=31,4*6м/6м/с=31,4с - 2π радиан
За 10π секунд - угол 2π  (в 5 раз меньше)
За 1/5 сек. Угол а (в 5 раз меньше =1/25 рад) Но подсчитаем все-таки:
угол а=2π*1/5:10π=2/5:10=1/25 рад=0,04 рад.
           ИЛИ
31,4с - 360°
0,2с  - х°
х=(0,2*360)/31,4=2,3°=2°18’ - это ответ.
Ответ: угол 0,04 рад. Или 2°18’.