Камень брошен вертикально вверх со скоростью 20 м/с. Сколько секунд он будет располагаться на высоте не менее 5 метров? Ускорение свободного падения g=10 м/с^2

Напишем уравнение движения камня:
H = Ho + Vo·t - g·t² / 2
Подставляя данные, получаем:
Нo = 0
Vo = 20 м/с
g = 10 м/с²
Н = 20·t - 5·t²
Но по условию:
H ≥ 5, поэтому решаем квадратное неравенство:
20·t -5·t² ≥ 5
Отсюда следует:
t1 ≥ 0,27 c
t2 ≤ 3,73 c
Значит тело находилось на высоте не менее 5 метров:
t = t2 - t1 ≈ 3,5 c
Ответ: 3,5 секунды

При бросании мяча вертикально вверх мальчик бросил его со скоростью в 1.5 раза большей чем девочка. Во сколько раз у них будет различаться время полета мяча до падения на землю?

У девочки мячик упадет раньше, чем у мальчика, так как у мальчика кинетическая энергия больше, следовательно, и потенциальная тоже, а потенциальная равна mgh где h это высота на которую поднялся мяч
В 1.5 раза быстрее мяч у девочки упадет

Камень брошеный вертикально вверх оказался на высоте h=10м через t=4 с определите время полета камня до самой высокой точки траектории сопротивлением воздуха пренебречь ускорение свободного падения g=10м/с^2

Максимальная высота:
H=g*t₁²/2
Здесь t₁ - время подъема до верхней точки.
t₁ = √(2*H/g)
Время падения от самой высокой точки до высоты 10 метров:
t₂=√(2*(H-10)/g)
По условию сумма этих времен и равна 4:
4=√(2*H/g)+√(2*(H-10)/g)
Сократив на √(2/g) получаем:
    √H + √(H-10) ≈ 9
Решая это иррациональное уравнение, получаем ДВА корня: максимальная высота, если камень поднимается вверх, вторая - когда камень падает:
H₁ ≈ 29 м
H₂ ≈ 97 м

В ущелье падает камень глубиной 10 (метров) из рук туриста. Через какое время после начала падения турист услышит звук падения. Скорость звука 340 м/с.

Пусть ущелье имеет глубину H метров, тогда:
T падения = Корень((Н/9,8))
Т возврата звука = (Н/330)
Т падения + Т возврата звука = Корень((Н/9,8)) + (Н/330)
= 6 секунд
=>
Н/9,8 = ((Н/330)+6)^2 = Н^2/10890 + 2*6*H/330 + 36
H/9.8 = Н^2/10890 + H/27.5 + 36
H^2 + ((1/9.8)+(1/27.5))*H*10890 + 36*10890 = 0 - квадратное уравнение - его надо решить.
У квадратного уравнения 2 решения, но одно из решений должно оказаться не физичным. В данном случае неверное решение - будет отрицательным.
Верное решение:
Н = [(-((1/9.8)+(1/27.5))*10890)+Корень(((((1/9.8)+(1/27.5))*10890)^2)-4*36*10890)]/2
Калькулятор у меня не под рукой - сами посчитаете?

С большой высоты на Землю сброшен груз массой m = 20 кг. Принимая, что сила сопротивления воздуха движению груза изменяется пропорционально скорости, определите, через какой промежуток времени \(\Delta t\) ускорение движения груза будет равно одной трети ускорения свободного падения. (Коэффициент сопротивления движению k = 10 кг/с).

M*a=m*g-k*V
Запишем закон в дифференциальной форме : m*dV/dt=m*g-k*V
В момент времени t ускорение будет g/3
Решением дифференциального  уравнения будет t=m*(m*g/(m*g-k*V/3)/k(1)
Скорость найдем для момента, когда сила сопротивления равна силе тяжести: V=m*g/k(2)  Подставляем 2 в 1: t=m*ln(1/2)/k=20*0,693/10=1,386 c