В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину своего пути. Сколько времени и с какой высоты падало тело.

Координата тела даётся кинематической формулой:
x(t) = x0 + v0*t + a*t²/2;
Начальная скорость здесь равна нулю, начальное положение можем тоже за 0 принять. Ускорение равно g и если направим ось Х вниз, оно будет положительно.
Движение по прямой в одном направлении, так что что перемещение, что путь, что координата - в данном случае при данном выборе осей - всё одно.
Пусть общее время падения T, а общая высота H.
Тогда мы знаем, что
x(T) = g*T²/2 = H, и
x(T-1) = g*(T-1)²/2 = H-H/2 = H/2 - просто из формулировки задачи.
Из этих двух уравений надо найти H - простая задача.

Мяч массой 200г выпустили из рук на некоторой высоте с нулевой начальной скоростью. Его кинетическая энергия при падении на землю равна 18 дж. Потеря энергии за счёт сопротивления воздуха = 6 дж. С какой высоты упал мяч? Ускорение свободного падения рано 10 м/с^2

По закону сохранения энергии начальная энергия должна равняться конечной. Вначале имеем лишь потенциальную энергию тяготения, в конце - кинетическую энергию движения и внутреннюю энергию теплового движения (сопротивление воздуха). То есть если бы не атмосфера, кинетическая энергия была бы равной 24 дж. Значит и потенциальная тоже 24 дж.
E=mgh
h=E/mg=24/0.2*10=12
Мяч упал с 12 метров.

С какой высоты падало тело без начальной скорости, если в последнюю секунду падения оно прошло путь s = 25м?

Пути проходимые за равные промежутки времени свободно падающем без начальной скорости телом относятся как ряд нечетных чисел:
l₁ : l₂ : l₃ :. : l₂n+₁ = 1 : 3 : 5 :. : 2n+1
За первую секунду тело проходит gt²/2 = 4,9 м => 25 м / 4,9 м ≈ 5
Нечетному числу 5 соответствует 3 секунда движения т.е. Тело падало 3 с
h = gt²/2 = 10 м/с² * (3 с)² / 2  = 45 м

Тело, свободно падающее с некоторой высоты, некоторый отрезок пути от начала падения проходит за время t=1 с, а такой же отрезок в конце движения - за время \( \frac{1}{2} \) t. Найдите высоту, с которой упало тело.

Пусть общая высота = H, h - некоторое начальное расстояние за 1 с
h=gt²/2 (падает без начальной скорости)
h=10*1/2=5м (прошел за 1ю секунду)
h=v1*t+gt²/2, где v1 - скорость, которая была за 5 м до конца
5=v1*0,5+5*0,25
v1=7,5
5=(7,5+v2)/2*0,5, где v2 - конечная скорость
v2=12,5
Теперь подставляем эту скорость и считаем высоту:
H=(12,5²-0)/2g=7,8 м

Тело массой 1 кг свободно падает с некоторой высоты. В момент падения на землю его кинетическая энергия равна 100 Дж. С какой высоты падает тело?

Записываем дано: m=1 кг, Ek= 100 Дж.
Решение: 1)Записываем формулу Ek=mV²/2, у нас нет скорости но мы знаем что тело падая с определенной высоты движется с ускорением g = 10 м/с.
2)Берем формулу V= V(0) + a*t, V(0) = 0  поэтому V= g*t, подставляем V в формулу для кинетической энергии => Ek=m*a²*t²/2;
100=1*100*t²/2 = 50* t²; 100/50 = t²; 2= t² так как корень из двух плохо извлекается можно написать 2 в степени 1/2. 
3)Берем формулу для высоты h = a*t²/2 = 10*2/2; h=20/2;
Ответ: h = 10 м