Тело, двигаясь по окружности радиусом 5 метров, сделало половину оборота. Укажите перемещение тела и рассчитайте его величину. Найдите значение пройденного телом пути?

Перемещение- отрезок соединяющий начальное и конечное положение
в данной задаче это Диаметр
\( S=D=2R=10m \)
пройденный путь- длина  дуги-половины окружности
\( L=2 \pi R/2= \pi R=5 \pi =5*3,14=15.7m \)

Мотоциклист двигаясь по арене цирка проезжает окружность радиусом 13 м за 8 с. Определите путь и модуль перемещения мотоциклиста

R=13м Путь равен части дуги, которую мотоциклист проезжает за t секунд.
Длина дуги равна 2Pr=2×3.14×13=81.64м
Тогда, за 4с он проедет половину дуги это 40.82м, а за 8с всю дугу это 81.64м
Перемещение это вектор, соединяющий точку начала и конца движения.
За 4 с он проедет половину дуги, это означает, что модуль длины вектора перемещения равна диаметру это 13м×2=26м
А за 8с он вернётся в начало, то есть в этом случае модуль вектора перемещения будет равен 0.

Материальная точка движется по окружности диаметром 40 м. Зависимость
пути от времени её движения определяется уравнением S= t³+4•t²-t+8.
Определить пройденный путь, скорость, тангенциальное, нормальное и
полное ускорения движущейся точки через 4 сек после начала движения.

S= t³+4•t²-t+8.   R=20 м  t=4 с
So=8 м
S(4)=64+4*16-4+8=132 м
S=S(4)-So=132-8=124 м
V=S’=3*t²+8*t-1
найдем скорость через 4 c
V(4)=3*16+8*4-1=79 м/с
найдем нормальное ускорение
a1=V(4)²/R=79*79/40=156,025 м/с2
найдем тангенциальное ускорение
a2=V’=6*t+8
a2(4)=6*4+8=32 м/с²
полное ускорение 
a=√a1²+a2²=√156,025²+32²
что-то какие-то цифры несуразные. Может в уравнении ошибка у вас?

Точка движется по окружности радиусом 5 см. Найти путь и перемещение точки за время, когда она совершила четверть оборота

Перемещение - вектор, соединяющий конечное положение точки и начальное. Получается, что это  расстояние будет равно квадрату гипотенузы прямоугольного равнобедренного Δ, в котором катеты равны радиусу
S² =R² +R² =2R², S² =2*5² =50, S=√50≈ 7,07 cм  (смотри файл)
Путь - точка  прошла  1/4 длины окружности, то есть C=2πR/4 =πR/2, С=3,14*5/2 =7,85 см

Материальная точка движется по окруж­ности с радиусом 2 м. Найдите путь и перемещение через 1/6 часть оборота, 1/4, 1/2 и полный оборот.

Длина окружности равнаL= 2пR, L1=L/6=2пR/6=3,14*2/3=1,04 м- путь за 1/6 оборота, а перемещение - это расстояние между начальной и конечными точками. Это длина хорды в окружности с радиусом R=2 м, центр окружности в точке О, из треугольника, образованного радиусами по теореме косинусов найдем длину хорды, зная, что если тело прошло 1/6 оборота, то угол равен 360/6=60 градусов. S=корень из ( 2R^2-2R^2* cos60)=корень из(2*4-8/2)=2 м
1/4 и 1/2 оборота также. Для 1/2 оборота S=2R=4 м L=пR=6,28 м