Материальная точка совершает гармонические колебания, при прохождении положения равновесия ее кинетическая энергия равна 2 Дж. Если уменьшить период
колебаний в 2 раза, а амплитуду колебаний увеличить в 4 раза, то каким станет максимальное значение кинетической энергии

Полная энергия колебательного движения W=ω²*A²*m/2
При увеличении частоты в 2 раза (уменьшении периода в 2 раза) ω² увеличится в 4 раза, А² увеличится в 16 раз, Вся энергия в 4*16=64 раза
Максимальное значение кинетической энергии равно полной 2*64=128 Дж
==========================

Материальная точка совершает синусоидальные колебания с амплитудой 8 см и начальной фазой 1/3п. При частоте колебаний 0.25 гц, через одну секунду после начала колебаний смещение точки от положения равновесия будет равной.

Синусоидальные колебания описываются уравнением:
А=Аm*sin(ωt+Ф0), где Аm - амплитуда, ω - круговая (циклическая) частота, Ф0 - начальная фаза.
ω=2π√, где √ - частота.
По условию задачи Аm=8, √=0,25, Ф0=π/3, тогда ω=2π√=2π*0,25=π/2; А=Аm*sin(ωt+Ф0)=8sin(π/2*t+π/3).
Через 1 секунду: А=8sin(π/2*t+π/3)=8sin(π/2*1+π/3)=8sin(π/2+π/3)=
=8sin5π/6=8sin(π-π/6)=8sinπ/6=8*(1/2)=4 (см)

Материальная точка совершает гармонические колебания по закону x=20sin(п/4t+п/4) Оперделите период колебаний, амплитуду колебаний и начаоьную.

A=20 м   
ω=π/4=2*π/T    T=8 c
Начальная фаза π/4=45°
================
Х =ASin(ωt+φ)
x =20Sin(π/4t+π/4)
сравни эти два уравнения, из них найдем:
А =20
ω=π/4
φ=π/4 = 45°
Из уравнения ω=π/4
по определению ω=2πν левые части равны, равны и правые
π/4 =2πν обе части умножим на 4
π=8πν
ν=1/8Гц
Т =1/ν= 8с
Ответ: Т= 8с.

Материальная точка совершает колебания по закону x =x0 sin(2πt +π/6) см. В какой момент времени ее потенциальная энергия равна кинетической?

Потенциальная энергия пружины по модулю kx²/2     кинетическая mv²/2
x=x0sin(2πt+π/6) см =x0sin(2πt+π/6)*1/100 м
v = x’(t)=x0cos(2πt+π/6)*2π/100 м/сек
Ек=m*x0²*4π²cos²(2πt+π/6)/2*10⁴=kx0²sin²(2πt+π/6)/2*10⁴
4π²x0²cos²(2πt+π/6)=(k/m)x0²sin²(2πt+π/6)
учитываем √k/m=ω=2π → k/m=4π²
cos²(2πt+π/6)=sin²(2πt+π/6)
tg²(2πt+π/6)=1   2πt+π/6=π/4+πk/2
2t+1/6=1/4+k/2   t=1/24+k/4  k=0,1,2,3. При этих k t>0

Материальная точка совершает свободные гармонические колебания. Если максимальное значение скорости точки в процессе колебаний равно 1 м/с, а максимальное значение ускорения равно 50.5 м/с, то частота колебаний равна. Гц

При непосредственном дифференцировании решения уравнения колебаний выясняется, что модули максимального ускорения и максимальной скорости связаны следующим соотношением:
\( a_0=\omega v_0 \)
Отсюда линейная частота:
\( \nu=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{a_0}{v_0}=\dfrac{50.5}{2\pi\cdot 1}\approx 8\mathrm{\ s^{-1}}. \)