Камень бросают под некоторым углом к горизонту, с начальной скоростью 30м/с. Найти: а)на какой высоте потенциальная энергия камня в 3 раза больше его кинетической энергии Б) под каким наименьшим углом надо бросить камень, чтобы задача иела решение

А) Энергия камня:
m*Vo^2/2 = mgh+mv^2/2
Так как по условию задачи mv^2/2 = (1/3)mgh, то первое уравнение можно записать в виде
m*Vo^2/2 = (4/3)mgh, сократив массу и приведя к общему знаменателю, получим:
3Vo^2 = 8gh,
h = 3Vo^2/8g = 3*30^2/(8*9,81) = 34,4 м
Б) Наименьший угол определим из условия нахождения этой высоты в максимальной точке подъема:
Нмакс = (Vo^2*sin^2 a) / 2g
Отсюда a = arc sin((2gh)^(1/2) / Vo) = arc sin((2*9,81*34,4)^(1/2) / 30) = arc sin 0,866 = 60градусов.

1)
mv^2/2=mgh+(mgh)/3=(mgh)4/3
h=3v^2/(8g) - искомая высота
2)
m*(v*sin(a))^2/2=mgH - максимальная высота
H=(v*sin(a))^2/(2g) > h=3v^2/(8g)
(sin(a))^2/(2) > 3/(8)
(sin(a))^2 > 3/4
sin(a) > корень(3)/2
угол наклона к горизонту больше 60 градусов - это ответ

Тело массой m 1 кг брошено под углом к горизонту с высоты h=5м над поверхностью земли со скоростью v0=6м/с, упало на землю со скоростью v=4м/с. Определите работу силы сопротивления воздуха за всё время полёта?

Возьмем формулу движения тела, брошенного под углом к горизонту для нахождения начальной скорости: Слегка округлим значения альфа, ибо в таком случае расчеты выйдут громоздкими. cos60 = 0.5V0x =  5*0.5 = 2.5V0x = VxТеперь найдем ускорение, с которым бросили тело:a = V/t = 2.5/1 = 2.5 м/cТеперь найдем изменение импульса:P = mV = 2.5 * 1 = 2.5 кг*м/c в момент начала движения. P = Ft = mat = 2.5*1*1 = 2.5 кг*м/c. Отсюда видим, что в первую секунду полета не изменился.

Камень массой 200 г брошен с земли под углом к горизонту и упал на нее через 4 с на расстоянии 40 м от точки взлета. Какая энергия затрачена на бросок?

Для определения энергии (в данном случае кинетической) надо знать скорость, с которой был брошен камень.
Воспользуемся формулами:
t = 2*Vo*sin α / g     4*9.81 = 2*Vo*sin α    Vo*sin α = 19,62
L = Vo*t*cos α          40 = Vo*4*cosα          Vo*cos α = 10
Разделив 1 уравнение на 2, получаем   tg α = 1,962   α = 1,09943 радиан = 62,9927°.
Скорость находим: Vo = 10 / cos α = 10 /  0,454104 = 22,0215 м/с.
Тогда энергия Е = m*V²o / 2 = 0,2*22,0215² / 2 =  48,49 Дж

Камень бросили под углом к горизонту со скоростью υ0 = 20 м/с. Во время движения наибольшая скорость камня была вдвое больше, чем наименьшая. Определите горизонтальную дальность L полета камня. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Камень бросили под углом к горизонту со скоростью υ0 = 20 м/с. Во время движения наибольшаяскорость камня была вдвое больше, чем наименьшая. Определите горизонтальную дальность L полетакамня. Сопротивлением воздуха пренебречь  S - 
Наименьшая скорость камня будет в верхней точке
по условию Vоx/Vo=1/2= cosa=cos60
S=L=Vox*t=Vo*t/2
t= 2*Vo*sin60/g=2*Vo*орень из 3/2*g=Vo*корень из 3/g
L=Vo^2*1,7/2*g=20*20*1,7/20=34 м
Ответ L=34 м

Снаряд, вылетевший из орудия под углом к горизонту, находился в полете 12с. Какой наибольшей высоты достиг снаряд?

Рассматривая только вертикальную составляющую скорости, из уравнения 
h(t) = v·t - g·t^2 / 2 
при условии, что через 12 сек снаряд снова упал на землю, т.е. h(12) = 0, получим v = 60. 
Максимальная высота достигается в середине полета, т.е. Через 6 сек.  
Подставляя в ту же формулу вычисленное значение v и t=6, получим h = 180 м.