Камень бросили с горизонтальной площадки под углом к горизонту в направлении вертикальной стены. Камень упруго ударился о стену и упал на площадку. Известно, что время полета от момента бросания до удара составило t1, а время полета от удара по падения - t2. Определите, на какой высоте камень ударился о стену. Стена перпендикулярна плоскости, в которой движется камень. Влиянием воздуха можно пренебречь.

Полное время полета камня t=t1+t2
значит вертикальная составляющая скорости за это время изменилась от vх  и стала равна -vx
vx - g*t= -vx
vx = g*t/2 = g*(t1+t2)/2
значит высота в момент t1 составляла h1
h1 = vx*t1 - g*t1^2/2 =  g*(t1+t2)/2*t1 - g*t1^2/2 =
=  g/2*((t1+t2)*t1 -t1^2) = (g*t1*t2)/2 - это ответ

Тело массой m = 0,4 кг бросают со скоростью v0 = 24,3 м/с под углом к горизонту. Найти потенциальную U энергию тела в момент времени, когда скорость тела достигает значения v1 = 16,2 м/с.

Дано:
m = 0,4 кг
vº= 24,3 м/с
v1 = 16,2 м/с
U -
Wполн = U + Wкин.
У точке, откуда бросают, Wполн = Wк.
У точке со скоростью : 16,2 м/с Wполн = U + Wкин2
W к. = mvº²= Wп.
W кин2 = mv1²
U = Wполн - Wкин2
U = mvº²- mv1² = m(vº-v1)(vº+v1)
U = 0,4(24,3 - 16,2)(24,3 + 16,2) = 131, 22 Дж ≈ 131 Дж
Ответ: 131 Дж
W

Максимальная кинетическая энергия тела, брошенного под углом к горизонту больше ее минимального значения в 2 раза, если тело брошено под углом.

Минимальная кинетическая энергия будет в верхней точке траектории (в вершине параболы), в этой точке вертикальная составляющая скорости (проекция скорости на вертикальную ось) равна нулю, и, как известно горизонтальная составляющая скорости - постоянна.
максимальная кинетическая энергия будет или в начальный момент, или в момент падения. Будем считать, что тело брошено с поверхности земли. Имеем.
E_k_min = (m/2)*(v_x)^2;
E_k_max = (m/2)*(v0)^2;
(v0)^2 = (v0_y)^2 + (v_x)^2;
по условию E_k_max = 2*E_k_min;
(m/2)*( (v0_y)^2 + (v_x)^2 ) = 2*(m/2)*(v_x)^2;
(v0_y)^2 + (v_x)^2 = 2*(v_x)^2;
(v0_y)^2 = (v_x)^2;
v0_y = v_x;
итак: v0_y = v_x;
tg(a) = v0_y/v_x = 1;
a = arctg(1) = 45 градусов.

Мяч брошен с высоты 10м под углом 30 градусов к горизонту вверх. Через какое время он упал на землю, если в момент падения его скорость составляла угол 60 градусов с горизонтом?

Полет мяча можно разделить на два участка-полет па параболе и затем падение на землю. Запишем систему из двух уравнений-высоты, с который спустится тело после преодоления параболического участка и угла, под которым оно падает на землю:
1)tg 60=vocos a+gt/vo*sin a
2)h=vo*cos at+gt^2/2
1)√3=0.5vo+10t/√3vo/2
Из первого уравнения выразим время через скорость:
3vo/2=0.5v0-10t
vo=10t
Из второго уравнения найдем время движения по второму участку:
10=5t^2+5t^2
t=1 c
Найдем скорость в начале второго участка, так же, следует заметить, что она равна скорости в начале полета по закону сохранения энергии:
vo=10 м/с
Теперь найдем время движения тела по первому участку:
t2=2vosina/g=1 c
Тогда искомое время равно сумме указанных выше времен- 2 секунды

V=v0-g*t - вертикальная составляющая скорости
u - горизонтальная составляющая скорости
v0/u=tg(30) - задан угол в момент броска
v/u=-tg(60) - задан угол в момент падения
v=-v0*tg(60)/tg(30)=-3*v0
h=(v^2-v0^2)/(2*g)=(3^2-1)*v0^2/(2*g)=8*v0^2/(2*g)=4*v0^2/g
v0=корень(g*h)/2
t=(v0-v)/g=(1+3)*v0/g=4*v0/g=4/g*корень(g*h)/2=2*корень(h/g)=2*корень(10/10) сек = 2 сек

Небольшой камень, брошенный с ровной горизонтальной поверхности под некоторым углом к горизонту, достиг максимальной высоты 20 м. Сколько времени прошло от броска до того момента, когда его скорость стала направена горизонтально?

Скорость стала направена горизонтально, когда вертикальная скорость стала равна нулю, т.е. Закончился подъем.
Камень поднимается, замедляясь ускорением свободного падения g≈10м/с², и по формуле равноускоренного движения, время замедления вертикальной скорости до нуля t=√(2S/g)=√(2·20/10)=√4=2с.