Во сколько раз надо увеличить начальную скорость брошенного вертикально вверх тела, чтобы высота подъема увеличилась в 4 раза?

• будем оперировать следующими основными уравнениями кинематики, предполагая, что начальная координата тела x = 0:
○ v = v0 + at
○ S = v0 t + (a t²)/2
• сведем уравнение пути к виду квадратного уравнения относительно времени:
○ a t² + 2 v0 t - 2 S = 0
• у этого уравнения два корня, один из которых нам, очевидно, не подходит (время не может быть отрицательно):
t = (-2 v0 + √(4 v0² + 8 a S))/(2 a)
• с учетом выражения для t, получаем в уравнении скорости:
○ v = v0 + a * (-2 v0 + √(4 v0² + 8 a S))/(2 a)
○ v = v0 - v0 + √((4 v0² + 8 a S)/4)
○ v² = v0² + 2 a S
○ S = (v² - v0²)/(2 a)

Найдите среднюю скорость свободно падающего без начальной скорости тела за первую, вторую и третью секунду падения. Чему равна средняя скорость тела за n-ю секунду свободного падения?

При свободном падении проходимый телом путь выражается формулой s=g*t²/2. Полагая g=10 м/с², находим путь, проходимый телом за одну, две и три секунды:
s1=10/2=5 м, s2=10*4/2=20 м, s3=10*9/2=45 м. Отсюда средняя скорость за первую секунду v1=s1/1=5 м/с, за вторую - v2=(s2-s1)/(2-1)=15 м/с, за третью - v3=(s3-s2)/(3-2)=25 м. За n-1 секунд тело пройдёт путь s(n-1)=g*(n-1)²/2=5*(n-1)² м, а за n секунд - путь s(n)=g*n²/2=5*n² м. Тогда средняя скорость за n-ную секунду v(n)=
(s(n)-s(n-1))/(n-(n-1))=5*n²-5*(n-1)²=5*n²-5*n²+10*n-5=10*n-5 м/с.  

Камень свободно падает с высоты 10м без начальной скорости. Определить в какой момент времени после начала падения камень будет находиться на высоте 5м и определить скорость в этом месте.

Камню надо пролететь путь h=10-5=5 м
h=gt^2/2
t=√(2h/g)=√(2*5:10)=1 cек
v=gt=10*1=10м/с
Ответ 1сек, 10м/с
Будем считать, что в начале движения координата равна 0, а положительное направление будет "вниз".
Тогда уравнение движения камня выглядит так x=0.5gt^2; где g - ускорение свободного падения g=10 м/с^2.
Подставим координату 5 м и найдём время движения.
5=0,5*10t^2;
t^2=1;
t=1 с.
уравнение скорости v=gt;
v=10*1=10 м/с.

Тело брошено под углом 45 с начальной скоростью 10 м/с. С какой начальной скоростью нужно бросить второе тело под углом 60 чтобы оно упало в ту же точку что и первое тело? Принять ускорение свободного падения 10 м/с^2

Максимальная дальность движения тела брошенного под углом 30°:
\( X_{max}= \frac{\vartheta_1^2\cdot sin \ 2\alpha }{g} = \frac{10^2\cdot sin \ 2\cdot 30к }{10} =8,66 \ (_M) \)
Начальная скорость с которой нужно бросить тело под углом 60° чтобы, тело упало на такое же расстояние: 
\( \vartheta_2= \sqrt{\frac{X_{max}\cdot g}{sin \ 2 \alpha }} = \sqrt{ \frac{8,66\cdot 10}{sin \ 2\cdot 60к} } =10 \ ( \frac{_M}{c} ) \)

На гладкой горизонтально расположенной спице в поле тяжести висит шнурок длиной 0.5 м. От небольшого толчка шнурок начинает скользить по спице, не отрываясь от ее поверхности.
Найти скорость шнурка, когда с одной из сторон спицы свешивается 0.2 части длины шнурка. Радиус спицы много меньше длины шнурка. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с^2

Введем нулевой уровень потенциальной энергии на начальных высотах центров масс равных свисающих концов (на расстоянии L/4 вниз от спицы, где L-длина шнурка)
когда с одной из сторон спицы свешивается k=0.2 части длины шнурка центр масс короткого конца находится на высоте
\( h_1 = L/4 - kL/2 = (1-2k)L/4 \)
вверх от нуля потенциальной энергии, а центр масс длинного конца на расстоянии
\( h_2 = (1-k)L/2-L/4 = (1-2k)L/4 \)
вниз от нуля потенциальной энергии (что достаточно очевидно).
Весь шнур двигается с одной и той же скоростью, и его энергия равна массе шнура, умноженной на половину квадрата этой скорости, поэтому
Закон Сохранения Энергии
\( 0 = kmgh_1-(1-k)mgh_2+mv^2/2\\ v^2/2 = -kg(1-2k)L/4 + (1-k)g(1-2k)L/4 = (1-2k)^2gL/4\\\\ v = (1-2k)\sqrt{gL/2} \)