Точка начинает двигаться равноускоренно по окружности. Через t=0.5c после начала движения нормальное и тангенциальное ускорение сравнялись. Определить угловую скорость для этого момента времени.
R - расстояние до оси вращения,ɛ - угловое ускорение
w - угловая скорость w=ɛ*t; ɛ=w/t;
v - линейная скорость v=w*R=ɛ*t*R
ат - тангенциальное ускорение ат = v` = ɛ*R=w*R/t
ан - нормальное ускорение ан = w^2*R
в какой-то момент времени ат = ан
w*R/t = w^2*R
1/t = w
w=1/t = 1/0,5 рад/сек = 2 рад/сек - это ответ
Искусственный спутник обращается вокруг Земли по окружности на высоте 300 км. Определить линейную скорость спутника и период его вращения.
Чтобы вывести спутник на орбиту надо, чтобы он имел скорость 7,9 км/с, эту скорость называют так красиво первая космическая скорость, формула для неё:u=√GMз/Rз
Корень из всего выражения.
А период зависит обратно пропорционально от скорости
u=2πR/T
T=2πR/u
T=6,28*300/7,9=238 секунд
Горизонтально летевшая пуля пробила вращающийся с частотой 20с-1 вертикальный барабан по его диаметру, равному 1м. Какова максимальная скорость пули внутри барабана, если расстояние по окружности между приборами оказалось равным 0,942 м? Ответ представьте в единицах СИ и округлите до единого числа.
Шаг 1. Наглядное представление.Нарисуем картинку к задаче. Будем считать, что траектория пули не меняется во время её пролёта. Красная точка - там где пуля пробила барабан при влёте в него. Оранжевая - при вылете. Рассмотрим момент вылета пули. Согласно условию задачи, красная точка должна быть удалена от оранжевой на 0.942 м, при этом изначально не понятно в какую сторону по окружности. Поэтому существует два возможных положения красной точки относительно оранжевой.
Шаг 2. Идея решения.
Что бы вычислить скорость пули необходимо знать:
1. Расстояние, которое пролетела пуля
2. Время, за которое она его пролетела.
Как узнать время?
Время пролета пули можно вычислить из динамики барабана. Для этого необходимо знать:
1. Скорость вращения барабана.
2. Угол, на который он повернулся за время пролета пули.
Как узнать угол, на который повернулся барабан?
Что бы определить угол, надо проследить по рисунку перемещение красной точки. Стоит отметить, что мы получим бесконечный дискретный набор углов поворота барабана (за время пролета пули барабан мог успеть сделать ноль, один, два, три и т.д. Полных оборота).
Какой угол из бесконечного набора выбрать?
Необходимо выбрать такой угол поворота барабана, при котором скорость пули максимальна (условие задачи).
Шаг 3. Математическое решение.
Определим угол поворота барабана (угол b на рисунке, в выкладках обозначается β). Для этого вычислим угол между точка влета и вылета пули (угол a на рисунке, далее α).
Из формулы, связывающей длину дуги окружности и величину центрального угла имеем:
\( \alpha=\frac{l}{r}=\frac{2l}{d} \)
Здесь r - радиус барабана (0.5 м), а l - длина дуги окружности (0.942 м по условию).
Угол β = π - α (вариант 1); β = π + α (вариант 2);
В общем случае (если учесть возможность того, что барабан может сделать несколько полных оборотов за время пролета пули) имеем:
β = π(1 + 2n) ± α, где n - произвольное натуральное число или ноль.
Время за которое барабан повернётся на угол β определяется формулой:
\( t = \frac{\beta}{\omega} = \frac{\beta}{2\pi f} \)
Здесь ω - циклическая частота вращения барабан (рад/с), а f - частота вращения в Гц ([Гц] = [1/c]). По условию f = 20 Гц.
В итоге имеем:
\( t=\frac{(1+2n)\pm\frac{2l}{d \pi}}{2f} \)
Расстояние которое пролетела пуля равна диаметру d = 1 м.
Поэтому скорость пули:
\( v=\frac{d}{t}=\frac{2fd}{(1+2n)\pm\frac{2l}{d\pi} } \)
Скорость максимальна когда минимален знаменатель получившейся дроби. Знаменатель минимален при n = 0 и при варианте 1 т.е.
β₀ = π - α
\( v=\frac{2fd}{1-\frac{2l}{d\pi}}=\frac{2fd^2\pi}{d\pi-2l} \)
Подставляем циферки:
f = 20 Гц; l = 0.942 м; d = 1 м и получаем ответ: 100 м/с (с учётом округления).
По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них совершает полный оборот на 5 секунд быстрее другой. При этом совпадение точек происходит каждый раз через 1 минуту. Определите скорости движения точек.
Дано L=60 м V1=Y V2=Yпусть X>Y
60/y -60/x=4 15/Y -15/X=1 (1)
60/(X-Y)=60 X-Y=1 (2) Y=X-1
15/(X-1)-15/X=1
X^2-X-15=0
X=(1+√61)/2=4,4 м/с
Y=4,4-1=3,4 м/с
Материальная точка движется по окружности радиусом 23 м. Зависимость пути от времени выражается уравнением s=2t3+6t2-2t+13. Определить пройденный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через 2 с после начала движения.
Φ(t)=2*t³+6*t²-2*t+13Найдем угол поворота за 2 с:
φ(2) = 2*2³+6*2²-2*2+13 = 16+24-4+13 = 49 рад
Путь
2π радиан - путь 2*π*R
49 радиан - x
x=49*2*π*R/(2*π) = 49*R=49*23 = 1127 м
Найдем угловую скорость - производную от φ(t):
ω(t) = (φ(t))’ = 6*t² + 12*t-2
ω(2) = 6*2²+12*2-2 = 24+24-2=46 рад/с
Найдем угловое ускорение как производную от ω(t):
ε(t) = 12*t+12
ε(2) = 12*2+12 = 36 рад/с²
Точка движется по окружности радиуса R = 1 м так, что её угловая зависит от времени следующим образом: ω = 2t + t^2. Найдите среднюю скорость за первые 2 с движения.
Средняя скорость = ВЕСЬ путь / ВСЁ время.Уравнение движения:
φ=φo+ωo*t+ε*t²/2
Если φo=0 и ωo=0, то:
φ=ε*t²/2
Угловая скорость:
ω=2*t+t². Находим производную:
ε=ω’=2+2*t
При t=2
ε=2+2*2=6 с⁻²
φ=6*2²/2 = 12 рад
S=φ*R = 12*1 = 12 м
Vср=S/t = 12/2 = 6 м/с
Кажется так. Проверь еще раз ход решения. Формулы правильные
Тело движется по окружности радиусом 2 м с линейной скоростью 0,5м/с. Какова угловая скорость движения тела?
R = 2 м\( v=0,5 \) м/с
ω -
\( v= \frac{ \pi R}{t} \), \( T= \frac{2 \pi R}{v} \)
ω = \( \frac{2 \pi }{T} \)
ω = \( \frac{v}{R} \)
ω = \( \frac{0,5}{2}=0,25 \) (рад/с)
Тело движется по окружности с частотой 239 об/мин. Найдите линейную скорость его движения, если радиус окружности 2 м.
ν = 239 об/минR = 2 м
\( v- \)
\( v= \frac{2 \pi R}{T} \), T = 1/ν
\( v=2 \pi R \)ν
\( v=2*3,14*2*239=3002 \) м/мин
Материальная точка движется по окружности радиусом 1 м. Зависимость ее уг-ла поворота от времени дается равенством фи=t+t^3/3. Найти для момента времени t = 2 c линейную и угловую скорости, а также нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки.
\( \varphi(t) = t+t^3/3\\ \omega(t) = \varphi’(t) = 1+t^2\\ \beta(t) = \omega’(t) = 2t \)Угловая скорость
ω(2) = 1+4 = 5
Линейная скорость численно равна угловой, так как радиус окружности 1 метр
v(2) = 5
Нормальное ускорение
an = (ω(2))^2*R = 25
Тангенциальное ускорение
at = β(2)*R = 4
Полное
a = корень(25^2+4^2) = 25.3
Тело движется по окружности радиусом 0,1м. Определите угловую скорость движения тела, если за 5 с она проходит 2 м.
Длина окружности радиусом r=0,1 метр равна L=2*π*r=6,28*0,1=0,628 м. 2 метра составляют 3 полных круга (6*π радиан, каждый круг 2*π радиан) и 0,18 от длины окружности (0,36*π радиан). То есть за 5 секунд пройдено 6,36*π радиан. Угловая скорость равна 6,36*π/5=1,272*π радиан в секунду. Ответ: 1,272*π радиан в секунду.
