На карусели в момент инерции I стоит человек массой m. С какой угловой скоростью w будет вращаться карусель, если человек пройдет по окружности радиусом r со скоростью u относительно карусели?
Когда человек пойдёт по покоящейся карусели – она начнёт крутиться против его хода с какой-то скоростью ω.Человек, идущий по такой вращающейся против его хода карусели с относительной скоростью u – будет крутиться на карусели с угловой скоростью:
ωч = u/r–ω ;
Момент импульса у всей системы сохранится, а значит, без учёта знаков – момент импульса карусели будет равен моменту импульса человека:
mr² ωч = Jω ;
mr² ( u/r–ω ) = Jω ;
mru – mr²ω = Jω ;
mru = ( J + mr² )ω ;
ω = mru/[J+mr²] = u/(J/[mr]+r) ;
ОТВЕТ: ω = mru/[J+mr²] или ω = u/(J/[mr]+r) ;
10.7
При упругом ударе сохраняется энергия и момент импульса:
Jo ωo² / 2 = Jω²/2 ;
Jo ωo = Jω, где Jo и ωo – момент инерции и угловая скорость математического маятника, а J и ω – момент инерции и угловая скорость стержня;
Jo²ωo² = J²ω², делим на первое, и:
Jo = J ;
mL²/3 = ml² ;
L²/3 = l² ;
ОТВЕТ: l = L/√3.
Материальная точка движется по окружности радиуса R с периодом Т. Модуль вектора средней скорости за четверть оборота равен...?
За четверть оборота точка проделает дугу в 90 градусов, хорда, стягивающая этот угол - это гипотенуза равнобедренного треугольника с углом в 90 градусов, и равна она радиусу окружности, умноженному на корень из двух.Поэтому
\( v = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{R\sqrt{2}}{T/4} = \frac{4R\sqrt{2}}{T} \)
Движение точки задано уравнением: S=8t²-t+1 (S - в метрах, T - в секундах) Точка движется по окружности радиуса R=4 м. Найти скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени t=2 с от начала движения.
Ответы: 31 м/с; 16 м/с² 240 м/с² 241 м/с²
Записываем уравнение: S = 8t² - t +1
Перва производная по времени даёт мгновенную скорость:
υ(t) = S′(t) = (8t² - t +1)′ = 16t - 1
В момент времени t = 2 сек, скорость будет:
υ(2) = 16·4 - 1 = 31 (м/с) ✔
Касательное (тангенциальное) ускорение:
dυ 31
a (т) = ─── = ─── = 15,5 (м/с²) ≈ 16 (м/с²) ✔
dt 2
Нормальное (центростремительное) ускорение:
υ² (31)²
a (n) = ─── = ─── = 240,25 (м/с²) ≈ 240 (м/с²) ✔
R 4
Полное ускорение:
a = √(a² (n) + a² (т) = √(240² + 16²) = 240,534 (м/с²) ≈ 241 (м/с²) ✔
Определить линейную и угловую скорость движения тела по окружности радиусом 20 см, если период обращения тела 4 секунды.
Дано:u-линейная скорость-
U-угловая скорость, если в тетрадке писать, то это греческая буква омега
R=20см=0,2м
T=4секунды
Y-частота и она равна одному, ибо потому, что нам сказано период обращения то есть период одного оборота
u=U x R
U=2пи умножить на Y
U=6,28 x 1=6,28
u=6,28 х 0,2=1,256м/с
Тело движется по окружности радиусом 20 м. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением S(t)=1+2t+3tвквадрате+4tвкубе. Запишите выражения для скорости и ускорения. Определите для момента времени 2 с после начала движения скорость, нормальное, тангенциальное и полное ускорение.
Запишем уравнение движения:S(t) = 1+2t+3t²+4t³
1)
Скорость - первая производная:
V(t) = 2+6t+12t²
V(2) = 2+6*2+12*4 = 62 м/с
2)
Нормальное ускорение:
an=V²/R = 62²/20 ≈ 192 м/с²
3)
Тангенциальное ускорение - первая производная от скорости:
aτ (t) = 6 + 24t
aτ (2) = 6 + 24*2 = 54 м/с²
4)
Полное ускорение по теореме Пифагора:
a = √ (an² + aτ²) = √ (192²+54²) ≈ 200 м/с²
Две материальные точки равномерно движутся в одном направлении по окружности радиусом R с угловой скоростью ω, находясь на наибольшем удалении друг от друга. Чему равен модуль вектора относительной скорости этих точек?
Сделаем чертеж:Точки находятся по условию задачи на наибольшем удалении друг от друга (в диаметрально противоположных т очках А и B)
Линейная скорость:
V = ω*R
Линейные скорости этих точек направлены противоположно, тогда
по правилу вычитания векторов получаем модуль относительной скорости:
Vот = V₂ - (- V₁) = ω*R - (- ω*R) = 2*ω*R
