Карандаш длинной l и массой m, поставленный вертикально, падает на стол. Найти момент импульса L карандаша относительно точки опоры в момент его падения на стол.

Энергия вращающегося тела E = i ω^2 / 2
Момент инерции стержня массы m длины l относительно конца равен i = ml^2 / 3
ω перед падением находим из закона сохранения энергии, заметив, что в начальный момент центр тяжести стержня находится на высоте l/2:
i ω^2 / 2 = mgl/2
ω^2 = mgl / i = 3g/l
ω = √(3g / l)
L = iω = ml√(3gl) / 3

На край крыши дома высотой H с расстояния L от дома школьник хочет забросить мяч. При какой минимальной величине v0 начальной скорости это возможно? Под каким углом a к горизонту следует в этом случае бросить мяч? Ускорение свободного падения g. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Как бы то ни было, в определенный момент времени, когда мячик коснется крыши, можно записать два следующих равенства
\( v\displaystyle L = v\tau\cos\alpha \\ H = v\tau\sin\alpha-g\tau^2/2\\\\ \tau = L/(v\cos\alpha)\\ H = L\tan\alpha-\frac{gL^2}{2v^2}(1+\tan^2\alpha)\\\\ \frac{gL^2}{2v^2}\tan^2\alpha-L\tan\alpha+H+\frac{gL^2}{2v^2}=0\\\\ D = L^2-\frac{gL^2}{v^2}\left(2H+\frac{gL^2}{v^2}\right)\\\\ \tan\alpha = \frac{v^2}{gL}\left(1\pm\sqrt{1-\frac{g}{v^2}\left(2H+\frac{gL^2}{v^2}\right)}\right) \)
Нам надо найти наименьшее v при котором корни вообще могут существовать, то есть решаем предельную ситуацию
\( \displaystyle 1-\frac{g}{v^2}\left(2H+\frac{gL^2}{v^2}\right)=0\\\\ \frac{v^2}{g} = 2H+\frac{gL^2}{v^2}\\\\ \frac{v^4}{g} - 2Hv^2-gL^2=0\\\\ v^2 = g(H+\sqrt{H^2+L^2}) \)
При этом
\( \displaystyle \tan\alpha = \frac{v^2}{gL} = \frac{H+\sqrt{H^2+L^2}}{L} \)

С высоты 10м над землей падает камень. Одновременно с высоты 8м вертикально вверх бросают другой камень. С какой начальной скоростью был брошен второй камень, если камни столкнулись на высоте 5м над землей? Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения принять равным 10 м/с^2

Если камни столкнулись на высоте 5м над землей, то первый камень пролетел 10 - 5 = 5 м.
Любое тело 5 метров пролетает за 1 секунду.
Составляем уравнение времени полёта второго камня.
Обозначим за V скорость его бросания вверх.
Время подъёма до верхней точки t₁ = V/g
Высота подъёма h равна: h = V²/2g.
Путь падения равен высоте подъёма плюс 8-5 = 3 м.
Время падения второго камня равно:
 t₂ = √((2h + 3)/g) = √((2(V²/2g)+3)/g).
Сумма t₁ и t₂ равна 1 секунде.
(V/g) + (√((2(V²/2g)+3)/g)) = 1.
Первое слагаемое перенесём направо, возведём в квадрат и приведём к общему знаменателю.
2V² + 12g = 2g² - 4gV + 2V².
Подставив g = 10 м/с², получим V = 80/40 = 2 м/с.

В высокоскоростной лифт входит человек, масса которого 82 кг и едет вверх. Лифт начинает движение с ускорением 2,3 м/с^2 и в конце движения тормозит с ускорением 2,1 м/с^2. Ускорение свободного падения равно 9,8 мс2.
Каков вес человека в лифте, когда лифт едет равномерно? Каков вес человека в лифте, когда лифт начинает движение? Каков вес человека в лифте, когда лифт тормозит в конце движения? Напишите решение и ответ.

Каков вес человека в лифте, когда лифт едет равномерно?
P=mg
P=82×9,8=803,6 Н
Каков вес человека в лифте, когда лифт начинает движение?
Ускорение вверх
ma=N-mg
N=ma+mg=m(a+g)=82×(2,3+9,8)=992,2 Н7
P=N=992,2H
Каков вес человека в лифте, когда лифт тормозит в конце движения?
Ускорение вниз
ma=-N+mg
N=mg-ma=m(g-a)=82×(9,8-2,1)=631,4 Н
P=N=631,4Н