Плотность некоторой планеты такая же как у земли, а радиус - вдвое меньше. Найдите ускорение свободного падения на этой планете
Вспоминаем закон всемирного тяготения. Два тела притягиваются друг к другу с силой:F = G*m1*m2/r^2, где G - гравитационная постоянная, m1,m2 - массы тел, r - расстояние между ними. В случае с телом на поверхности одна масса будет массой тела, а другая - массой планеты.
Для силы тяжести на поверхности земли нам более привычна формула:
F = m*g, где m - масса тела на поверхности, а g - ускорение свободного падения. Однако, как мы видим, значение g берётся не из воздуха, а может быть выражено, если в исходной силе тяготения всё, кроме массы тела, заменить:
g = G*m1/r^2
Пусть это будет выражение для Земли, а для этой некоторой планеты масса будет mx, радиус rx, ускорение свободного падения gx. Тогда выражение примет вид:
gx = G*mx/rx^2
Про соотношение радиусов мы знаем (rx = r/2), а вот соотношение масс придётся рассчитать. Раз плотности одинаковы, соотношение масс будет определяться соотношением объёмов, а оно, в свою очередь - соотношением радиусов (считаем, что планеты у нас шарообразны). Вспоминаем формулу объёма шара через радиус:
V = 4/3 *П * r^3
Таким образом, если V - это объём Земли, то объём некоторой планеты Vx:
Vx = 4/3 * П * rx^3 = 4/3 * П * (r/2)^3 = 4/3 * П * r^3/8 = V/8
Объём планеты в восемь раз меньше объёма Земли, значит и масса в восемь раз меньше:
mx = m1/8
Подставляем известное нам в выражение для gx:
gx = G*mx/rx^2 = G*(m1/8)/(r/2)^2 = G*m1*4/(8*r^2) = G*m1 / (2*r^2) = g/2
Таким образом, при уменьшении радиуса вдвое ускорение свободного падения уменьшится тоже вдвое.
Вспоминаем, чему равна гравитационная сила взаимодействия двух тел. Она равна
F=G*m1*m2/R^2 - G- гравитационная постоянная, R -расстояние между телами, m1 и m2 - массы тел.
Исходя из этого можно найти ускорение свободного падения на любой планете, оно равно:
G*M/R^2 - где R - радиус планеты, М - масса планеты.
Для Земли: G*Mземли/Rземли^2=g=9.8
Наша планета в 16 раз тяжелее Земли, но в 2 раза "плотнее", т.е. Ее объем в 8 раз больше объема Земли, а радиус в 2 раза больше радиуса Земли.
Т. О. Ускорение свободного падения на ней равно: G*16*Mземли/(2*Rземли) ^2=4*(G*Mземли/Rземли^2)=4*g
ускорение свободного падения на той планете в 4 раза больше Земного g.
