Тело брошено вертикально вниз со скоростью 15м/с с высоты 30м. Определить время падения тела на землю и скорость тела в момент падения.

На высоте 30 метров тело обладает своей максимальной потенциальной энергией ( исходя из формулы для потенциальной энергии Ep = m * g * h, где h - высота подъема тела, в дальнейшем, когда тело будет падать, то  потенциальная энергия его  будет уменьшаться )
Перед самым ударом о землю тело будет обладать своей наивысшей кинетической энергией ( т. К в данной точке скорость тела будет максимальной, а Eк = m*(v^2)/2 )
Максимальная потенциальная энергия равна максимальной кинетической энергии, т. К никаких потерь энергии не происходит, и вся энергия лишь превращается на протяжении всего падения из потенциальной в кинетическую
Поэтому:
Ep(max) = Eк(max)
m*g*h = m*(v^2) / 2
Откуда, выражая скорость, получаем:
V^2 = 2 * g * h
V =  √ 2 * g * h
Т. К тело падает под действием только лишь силы тяжести, то его движение будет равноускоренным, а ускорение - ускорение свободного падения на Земле = 9,8 м/с^2
Зная формулу для ускорения:
a = (V - Vo) / t
мы можем выразить из данной формулы время t:
t = (V - Vo) / a
где a - ускорение свободного падения
      Vo - начальная скорость тела
      V - конечная скорость тела

Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найти время падения и высоту, с которой упало тело.

Общая высота падения H складывается из двух участков  H=H1+H2, H2=H/3.
H=g(t1+1)^2/2, неизвестное время падения равно ( t1+1). H1=gt1^2/2=2H/3.   H=3gt1^2/4,
  v1=gt1,H2=H/3=v1*1+g1^2/2=gt1+g/2=H/3    H=3gt1+3g/2. Приравняем оба выражения для H: 3t1^2/4=3t1+3/2.  Из квадратного уравнения t1^2-4t1-2=0
найдем t1=4,45 и неизвестное время падения равно 5,45 с. Расчетная формула для нахождения корня квадратного уравнения.  
H=3*9,8*4,45+3*9,8/2=29,43(4,45+0,5)=145,68 м. За последнюю секунду полета тело пролетает H2=48,56 м.

Космическая ракета движется вокруг Земли по орбите, почти совпадающей с орбитой Луны. При включении тормозного устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Землю. Определите время падения ракеты на Землю. Сопротивлением воздуха атмосферы Земли и влиянием других тел пренебречь.

Можно считать траекторию падения очень сильно вытянутым эллипсом, чья большая ось совпадает с расстоянием от Луны до Земли. Согласно законам Кеплера, период обращения пропорционален длине большой полуоси в степени 3/2. Так как длина большей оси сократилась в 2 раза, то период обращения должен сократиться в $2^{1.5}$ раза. Учитывая, что падение займёт только половину времени обращения, получим, что падение будет продолжаться примерно t=$\frac{1}{2}*27/2^{1.5}=4.77$ суток.

Юла оборачивается с угловой скоростью 250 рад/с, свободно падает с высоты 5 м сколько оборотов она сделает за время падения

Дано:
ω=250 рад/с
h=5 м
Найти: n
Решение:
Высота - это путь, пройденный при движении с ускорением g
Формула пути принимает вид
$h= \frac{gt^2}{2}$
Отсюда находим время падения
$t= \sqrt{ \frac{2h}{g} }$
За это время угол поворота будет равен:
φ=ωt
$\phi =\omega t \\ \phi =\omega * \sqrt{ \frac{2h}{g} }$
Одному обороту соответствует угол в 2π.
Следовательно, число оборотов
$n= \frac{\phi}{2 \pi } \\ n=\ \frac{\omega}{2 \pi } * \sqrt{ \frac{2h}{g} } \\ n=\ \frac{250}{2 \pi } * \sqrt{ \frac{2*5}{10} }=39.8$
Ответ: ≈40

Тело брошено вертикально вверх в воздухе. Что больше: время подъема или время падения?

Когда тело падает вниз его время падения будет меньше потому что его скорость будет увеличиваться за счет силы притяжения или силы тяжести чем ближе тело будет ближе к земле тем его скорость будет больше а времени затратится меньше, а если тело бросить вверх его время будет больше потому что при движении тела вверх его скорость замедляетя и потенциальная енергия равна нулю.