Из окна движущегося железнодорожного вагона свободно падает тело. Будут ли равны между собой времена падения тела, вычисленные для случаев:
а) вагон неподвижен,
б) вагон движется с постоянной скоростью,
в) вагон движется с постоянным ускорением?

Для вариантов а и б время падения одинаковое. Потому что по первому закону ньютона состояние покоя и равномерное движение это почти одно и то же, никаких дополнительных сил не возникает. А вот вагон с ускорением - это уже неинерциальная система, там время падения будет другим.

Если за последнюю секунду свободно падающее без начальной скорости тело пролетело ¾ всего пути, то полное время падения тела равно...?

Обозначим обшее время падения \( t \), а длину всего пути \( s. \) По условию задачи за \( t-1 \) секунду тело проходит расстояние равное \( s-3/4s=1/4s. \) Итак, имеем
\( \frac{1}{4} s= \frac{g(t-1)^2}{2} \) и
\( s= \frac{gt^2}{2} \)
Подставим значение \( s \) из второго уравнения в первое, получим:
\( \frac{gt^2}{8} = \frac{gt^2}{2}- \frac{2gt}{2} + \frac{g}{2} \Rightarrow \frac{3gt^2}{8} - gt + \frac{g}{2}=0\Rightarrow 3t^2-8t+4=0 \)
Если решить данное уравнение, то получим два значения для \( t: \)
\( t_1=2c, t_2= \frac{2}{3} c. \) Очевидно, что второе значение нас не удовлетворяет, поэтому ответ \( t={2c} \)

С вертолета, летящего горизонтально на высоте 320 м со скоростью 50 м/с, сброшен груз.
а) Сколько времени будет падать груз? (Сопротивлением воздуха пренебречь. )
б) Какое расстояние пролетит груз по горизонтали за время падения?
в) С какой скоростью груз упадет на землю?

Время падения t = sqrt(2h/g) = sqrt(320*2/10) = sqrt(64) = 8 сек
по горизонтали за это время груз пролетит столько же, сколько и вертолет:
l = vt = 50*8 = 400 м
Поскольку вертикальная составляющая груза есть gt а горизонтальная составляющая равна скорости вертолета, результат будет
v0 = sqrt ((gt)^2 + v^2) = sqrt (6400 + 2500) = 94.4 м в сек
PS
340 км в час.
вряд ли от груза что-то останется.

---

Начальная вертикальная скорость груза равна 0, горизонтальная - 50 м/с.
а) Время падения найдем из условия:
h=gt^2/2
320=5*t^2
t^2=64, t=8 сек.
б) горизонтальная скорость остается постоянной, так как нет сопротивления воздуха, тогда расстояние, которое пролетит груз
s=Vг*t=50*8=400 м/с.
в) горизонтальная составляющая во время падения - 50 м/с
Вертикальную составляющую найдем из уравнения:
Vв=gt
Vв=10*8=80 м/с.
Тогда суммарная скорость тела равна 
\( V= \sqrt{ V_1^{2}+V_2^2} = \sqrt{2500+6400} =10 \sqrt{89} =94,34 \)м/с

Тряпка подбрасывается вверх и приземляется с силой сопротивления 0,1 mg. Найдите t подъёма и t падения; сравните их.

При движении вверх действуют две силы, направленные вниз: сила тяжести и сила сопротивления (направлена против направления движения). Эти силы сообщают тряпке ускорение
mg + 0,1mg = ma₁ => a₁ = 1,1g
при движении вниз сила тяжести направлена вниз, сила сопротивления - вверх
mg - 0,1mg = ma₂ = a₂ = 0,9g
при подъеме:
v = v₀ - a₁*t₁ => v = 0 => v₀ = a₁*t₁
h = v₀*t₁ - a₁*t₁²/2 = a₁*t₁² - a₁*t₁²/2 = a₁*t₁²/2
при падении:
v₀ = 0
h = a₂*t₂²/2
приравниваем и получаем: a₁*t₁²/2 = a₂*t₂²/2
a₁ / a₂ = t₁² / t₂² => t₂ / t₁ = корень(a₁ / a₂) = корень(1,1g / 0,9g) = корень(1,1 / 0,9) ≈ 1,11
время падения в 1,11 раза больше времени подъема

Тело свободно падает с некоторой высоты h и за первую секунду своего движения проходит путь, равный 1/4 h. Определите высоту и время падения тела.

Свободное падение тела в гравитационном поле Земли в первом приближении можно считать равноускоренным движением. Т. Е. Движением с постоянным ускорением. Это если не учитывать сопротивления воздуха. В большинстве школьных задач принимается именно такое условие, т.е. Сопротивление воздуха не учитывается. В общем случае путь, пройденный телом при равноускоренном движении, определяется выражением S = Vo*t + a*t^2/2. Поскольку тело падает свободно, то подразумевается, что его начальная скорость (Vo) равна нулю. В этом случае путь, который тело «пролетит» свободно падая, определяется выражением S = g*t^2/2.  Таким образом, подставив время падения, равное 1 секунде, легко видеть, что расстояние, которое тело пролетит в первую секунду падения, равно, в точности, половине величины ускорения свободного падения. Если принять g = 10 м/с^2, то за первую секунду свободного падения тело пролетит S = 10 * 1^2 /2 = 5 метров. Вот этот вывод надо запомнить на всю оставшуюся жизнь. Ну а дальше все просто. Поскольку 5 м это 1/4  h, то h = 5*4 = 20 м. Вот с такой высоты падает тело. Время найдем из формулы, приведенной для общего случая, точнее по второму её варианту, в котором отсутствует первое слагаемой из-за того что Vo = 0. Таким образом, из того выражения вытекает, что t^2 = 2S/g. Подставив в это выражение известные величины, будем иметь t^2 = 2*20/10 = 4. И тогда t равно корню квадратному из 4 = 2 секунды.