С некоторой высоты над поверхностью земли бросили груз без начальной скорости. Расстояние, которое преодолел груз в последнюю секунду своего падения, оказалось на 25% больше пути, который он прошёл в предыдущую секунду. Сколько времени падал груз? Ответ выразить в с, округлив до десятых. Ускорение свободного падения g=10 м/с2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

X=gt^2/2 - зависимость координаты от времени
S(t)-S(t-1)=gt^2/2-g(t-1)^2/2=g/2*(2t-1)
 - путь пройденый за последнюю секунду
S(t-1)-S(t-2)=g(t-1)^2/2-g(t-2)^2/2=g/2*(2t-3) 
- путь пройденый за предпоследнюю секунду
S(t)-S(t-1) = (S(t-1)-S(t-2)) * 1,25 - по условию
g/2*(2t-1) = (g/2*(2t-3)) * 1,25
(2t-1) =(2t-3) * 1,25
t=(3*1,25-1)/(2*(1,25-1))=5,5 сек
(2t-1) =(2t-3) * 1,25

С некоторой высоты над поверхностью земли бросили груз без начальной скорости. Расстояние, которое преодолел груз в последнюю секунду своего падения, оказалось на 10% больше пути, который он прошёл в предыдущую секунду. Сколько времени падал груз? Ответ выразить в с, округлив до десятых. Ускорение свободного падения g=10 м/с^2. Сопротивлением воздуха пренебречь.

V - скорость во время t-1
V0 - скорость во время t-2
V1 - скорость во время t
Каждая из этих скоростей отличается от предыдущей на 10 м/c (a= (V - V0)/t)
S и S1 - расстояния пройденные за 1 секунду 
Выражаем V0 через V1: V0=V1-20 и подставляем в уравнение
После этого мы можем найти расстояние за последнюю секунду $$S= \frac{v+ v_{1} }{2} * t \\ 0.9*S=S _{1} =\frac{v + v_{0}}{2}*t \\ \frac{S_{1} }{S} = 0.9= \frac{v+ v_{0} }{ v_{1}+v } \\ 0.9=\frac{v+ v_{1} -20 }{v_{1} +v} = 1 + \frac{-20}{v_{1} +v} \\ 0.1=\frac{20}{v_{1} +v} \\ v_{1} +v=200 \\ S=200/2*1=100 \\ S=v*t + a* t^{2}/2 \\ 100=v*1+10*1 ^{2} /2 \\ v=95 \\ v_{1}=105 \\ S=\frac{105 ^{2} - 0}{2*10} =551.25 \\ 551.25= \frac{105+0}{2} *t \\ t=10.5$$

Свободно падающее тело прошло за последнюю секунду падения 1/3 своего пути. Найдите время падения и высоту с которой упало тело.

Для вычисления расстояния за последнюю секунду есть формула
Hn= g*(2*n-1)/2      n- число секунд
H(n)=g*n²/2
по условию
Hn/H(n)=1/3
n2=3*(2*n-1)
n2-6*n+3=0
решаем квадратное уравнение
t=n=5,45 c
H(n)=g*t^2/2=9,8*5,45²/2=145,5 м
Hn=g*(2*n-1)/2=48,51 м
Легко проверить Hn/Н(n)=1/3
Ответ t=5,45 с
H=145,5 м

Детская игрушка волчок вращается с угловой скоростью 251,2 рад / с на столе, высота которого над полом 1м. Сколько оборотов сделает волчок за время падения со стола на пол?

Дано:
ω=251,2 рад / с
h=1 м
Найти: n
Решение:
Волчок падает без начальной скорости с ускорением, равным ускорению свободного падения g, и проходит путь, равный высоте. Формула пути
$s= \frac{at^2}{2}$
В нашем случае она принимает вид
$h= \frac{gt^2}{2}$
Отсюда находим время падения
$t= \sqrt{ \frac{2h}{g} } \\ t= \sqrt{ \frac{2*1}{10} } =0.447\,(c)$
За это время волчок повернется на угол
Ф=ωt
Поскольку  угол одного оборота равен 2π рад, то число оборотов будет равно
$n= \frac{\phi}{2 \pi } = \frac{wt}{2 \pi } \\ \\ n= \frac{251.2*0.447}{2 \pi } =17.9$
Ответ: ≈18 оборотов

Дано h=1м   w=251,2 рад/с   N-
Из формулы h=g*t^2/2
найдем t=√2*h/g
где t=N*T=N*2*π/w
N=w*√(2*h/g)/2*π=251,2*√2/9,8  /6,28=18,07
Ответ N=18 оборотов

Тело, брошенное вверх со скоростью V0 двигалось до падения на землю 12 с. Тело, брошенное из той же точки вниз с той же скоростью V0 падало 3 с. Сколько времени из этой точки будет падать тело.

Систему отсчета свяжем с землей.
Ось OY направим вертикально ВВЕРХ.
Высота точки бросания пусть равна H.
Запишем уравнение движения в первом случае:
y = H+V₀*t - g*t²/2
Поскольку тело уже на земле, то
0 = H+12*V₀ - 10*12²/2
Или:
H = 720 -12*V₀   (1)
Далее составим уравнение для тела, когда его бросают вниз:
y = H - V*t - g*t²/2
0 = H - 3*V-10*3²/2
H=3*V+45      (2)
Приравниваем (1) и (2)
720-12*V=3*V+45
Отсюда получаем:
V = 45 м/с
H = 3*45+45 = 180 м
С этой высоты тело свободно плавает:
H = g*t²/2
180 = 10*t²/2
t = 6 секунд - время свободного падения тела