Камень массой 2кг бросили вертикально вверх со скоростью, модуль которой равен 20 м/с. На какой высоте относительно поверхности Земли его кинетическая энергия равна потенциальной? Модуль ускорения свободного падения принять равным 10м/с^2, сопротивлением воздуха пренебречь.

Камень массой 2кг бросили вертикально вверх со скоростью, модуль которой равен 20 м/с. На какой высоте относительно поверхности Земли его кинетическая энергия 
Дано m=2 кг  Vo=20 м/с   Eк=Eп   h -
по закону сохранения энергии Eo=Eп+Eк=2*Eп
m*Vo^2/2=2*m*g*h
h=Vo^2/4*g=20*20/40=10 м
ответ  h=10 м

На какой высоте в км над поверхностью земли ускорение свободного падения в 9 раз меньше, чем на земной поверхности? Радиус земли 6400 км.

Ускорение g определяется по формуле g=Mземли*G/R^2.
То есть пишем, что было:
g=M*G/R^2
Стало:
g*=M*G/(R+H)^2
Делим:
g/g*=9=(R+H)^2/R^2
То есть
$\frac{R+h}{R} =3 \\ R+H=3R \\ H=2R$
H=12800

Ответ к заданию на рисунке

Бак высотой 2м до краев заполнен жидкостью. На какой высоте должно быть проделано отверстие в стенке бака, чтобы место падения струи, вытекающей из отверстия, было на максимальном расстоянии от бака?

S=V*t     V=√2*g*h=√2*g*x) x- расстояние от верхнего края
H=g*t²/2
t=√2*(L-x)/g
S=√2*g*x*2*(L-x)/g=√4x*(L-x)
S(x)=(4*L*x-4*x^2)^1/2
возьмем производную и приравняем ее к нулю
S’=1/2* (4*L*x-4*x^2)^-1/2 *(4*L-8*x)=0
4*L=8*x
x=L/2
Значит отверстие находится на расстоянии x=1 м от верхнего или нижнего края

Свободно падающее тело прошло последние 30 м за 0.5 с. Найти высоту падения.

Обозначим за Н высоту с которой падало тело, а за h высоту=30 м. Рассмотрим движение тела, когда оно находилось в точке h. Запишем уравнение координаты для тела, если бы оно начинало свое движение в точке h. h=v1*t+gt^2/2
Выразим отсюда v1(скорость, начальная для этой точки, но для тела уже приобретения, так как оно уже летело до этой высоты h)
v1=(h-gt^2/2)/t=(30-10*0.5*0.5/2)/0.5 =57.5м/с
Найдем время, которое летело тело до высоты h
v1=gt1
t1=v1/g=57.5/10=5.75с
То есть с того момента, как тело начало свое движение и достигло высоты h прошло время t1. Теперь мы можем найти высоту, которую прошло тело за это время. Она равна h2=gt^2/2=10*5.75*5.75/2=165.3
H складывается из h и h2 и равна 165.3+30=195.3м

Тело свободно падает с высоты h=40м без начальной скорости. На какой высоте его скорость будет вдвое меньше чем в момент падения на землю?

Формула для высоты. Через скорость
$h= \frac{v ^{2} -v0 ^{2} }{2g}$
$v0=0$ начальная скорость
$h= \frac{v ^{2} }{2g}$
скорость в момент падения
$v= \sqrt{2gh }= \sqrt{2*40*10} =20 \sqrt{2}$
высота, на которой скорость меньше в 2 раза
$H= \frac{(v/2) ^{2} }{2g} = \frac{(20 \sqrt{2} /2) ^{2} }{2*10} = \frac{400*2/4}{2*10} =10m$ Ответ

Мяч падает на землю с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю. Через какое время он достигнет поверхности земли? Какую скорость приобретет к моменту удара о землю? На какой высоте относительно земли будет находиться мяч через 1 с после начала падения? Какую скорость он будет иметь в этот момент времени? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано:
h=20 м
v₀=0
t₁=1 с
Найти:
t, v, v₁, h₁
Решение:
Формула высоты при v₀=0
$h=h_0- \frac{gt^2}{2}$
В конце полета высота равна 0, значит
$0=h_0- \frac{gt^2}{2} \\ h_0=\frac{gt^2}{2} \\ t= \sqrt{ \frac{2h_0}{g} } \\ t= \sqrt{ \frac{2*20}{10} } =2$
t=2 с
Формула скорости
v=v₀+gt
v=gt
v=10*2=20 (м/с)
Через 1 секунду:
$h_1=h_0- \frac{gt^2}{2}=20- \frac{10*1^2}{2}=15$
h₁=15 м
v₁=10*1=10 (м/с)
Ответ: 2 с, 20 м/с, 15 м, 10 м/с

---

1. Найдем время за которое он достигнет земли. h=Vot+gt²/2 Vo=0  
t=2
2 Найдем скорость перед ударом о землю V=Vo+gt Vo=0 g=10
V=20м/c
3. На какой высоте он окажется через секунду от начала полета 
Для этого найдем скорость которую тело имело в первую секунду полета
V=gt=10*1=10m/c
h1=10*1+5*1=15m(формула выше)
Значит относительно земли он будет находиться на высоте 20-15=5м
Ну и скорость в тот момент времени мы нашли.

Считая плотность Земли постоянной, определите глубину, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.

Поскольку в воображаемом колодце, проходящем от поверхности Земли к её центру, сила тяжести возрастает пропорционально расстоянию от центра Земли до поверхности (достигая 1g на поверхности Земли), 25% сила тяжести составит на расстоянии 25% радиуса Земли от центра. До поверхности это расстояние будет, соответственно, 75% радиуса. Принимая радиус Земли за 6371 км, получаем глубину -   4478 км.

Тело брошено горизонтально со скоростью, модуль которой Vo=8м/с. Если в момент падения на поверхность Земли модуль его скорости V=10м/с, то высота Н, с которой было брошено тело, равна...? Дм

Кинематический подход.
Горизонтальная составляющая Vx вектора скорости неизменна и равна начальной горизонтальной скорости V0:
Vx = V0.
Скорость в момент падения V слагается из горизонтальной Vx и вертикальной Vy:
V^2 = Vx^2 + Vy^2
откуда
Vy^2 = V^2 - Vx^2 = V^2 - V0^2.
Время падения t0 находим из соотношения:
g = Vy/t0 =>
t0 = Vy/g = sqrt(V^2 - V0^2)
Начальную высоту определяем из
h0 = gt0^2/2
h0 = gVy^2/(2g^2)  = (V^2 - V0^2)/(2g) = 1.8 м = 18 дм
Динамический подход.
Возрастание кинетической энергии T - T0 = mV^2/2 - mV0^2/2 есть результат работы силы тяжести:
mgh0 = mV^2/2 - mV0^2/2, откуда
h0 =  (V^2 - V0^2)/(2g) = (100 - 64)/20 = 1.8 м = 18 дм

Найти изменение ускорения свободного падения при опускания тела на глубину h. На какой глубине эта величина составляет 25% ускорение свободного падения на поверхности Земли? Плотность Земли считать постоянной. Указания. Учесть, что тело, которое находится на глубине под поверхностью Земле, не испытывает со стороны вышележащих слоев никакого притяжения, так как притяжения от отдельных частей слоя взаимно компенсируются. (Считать применимой теорему Гаусса-Остроградского к гравитационного взаимодействия).

Покажем, что ускорение силы тяжести в колодце глубиной h спадает по закону
g = g₀(R-h)/R
где
g₀ = 9.8 м с⁻² = GM/R² - ускорение силы тяжести близ поверхности Земли
G - гравитационная постоянная
М - масса Земли
R = 6 371 000 м - средний радиус Земли
h - глубина колодца
Здесь и далее силой Кориолиса пренебрегаем.
Поскольку притяжение со стороны шарового слоя толщиной, равной глубине колодца, равно нулю, остаётся влияние сферы радиусом
(R-h)
и массой
M’ = (4/3)пρ(R - h)³ - при допущении постоянства плотности ρ
Тогда
g = G(4/3)пρ(R - h)³/(R - h)² = 4Gпρ(R - h)/3.
Поскольку
4пρR³/3 = M
то
4пρ/3 = M/R³.
Таким образом,
g = 4Gпρ(R - h)/3 = GM(R - h)/R³
и так как
GM/R² = g₀
получаем
g = g₀(R - h)/R.
Это похоже на правду, поскольку при h = 0 последнее равенство переходит в g = g₀
Итак, g = g₀(R-h)/R
Тогда
g₀/4 = g₀(R-h₀)/R
откуда
h₀ = 0.75R = 4778250 м (4778 км)

На каком расстоянии от поверхности земли ускорение свободного падения земли будет равно 1,25 мс^2, радиус земли принять равным 6400км

G’ = GM/(R + h)²
g = GM/R²
g’ = 1.25 м с⁻² - ускорение силы тяжести на высоте h  над поверхностью Земли
g = 9.8 м с⁻² - ускорение силы тяжести у поверхности Земли
G - гравитационная постоянная
M - масса Земли
Из уравнений следует
g’(R + h)² = gR²
или
√g’(R + h) = √gR
откуда
h = R(√g - √g’)/√g’ = R(√(g/g’) - 1) = 6400(√(9.8/1.25) - 1) = 11500 км