Мяч падает на землю с высоты 20 м с начальной скоростью, равной нулю. Через какое время он достигнет поверхности земли? Какую скорость приобретет к моменту удара о землю? На какой высоте относительно земли будет находиться мяч через 1 с после начала падения? Какую скорость он будет иметь в этот момент времени? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Дано:h=20 м
v₀=0
t₁=1 с
Найти:
t, v, v₁, h₁
Решение:
Формула высоты при v₀=0
\( h=h_0- \frac{gt^2}{2} \)
В конце полета высота равна 0, значит
\( 0=h_0- \frac{gt^2}{2} \\ h_0=\frac{gt^2}{2} \\ t= \sqrt{ \frac{2h_0}{g} } \\ t= \sqrt{ \frac{2*20}{10} } =2 \)
t=2 с
Формула скорости
v=v₀+gt
v=gt
v=10*2=20 (м/с)
Через 1 секунду:
\( h_1=h_0- \frac{gt^2}{2}=20- \frac{10*1^2}{2}=15 \)
h₁=15 м
v₁=10*1=10 (м/с)
Ответ: 2 с, 20 м/с, 15 м, 10 м/с
1. Найдем время за которое он достигнет земли. h=Vot+gt²/2 Vo=0
t=2
2 Найдем скорость перед ударом о землю V=Vo+gt Vo=0 g=10
V=20м/c
3. На какой высоте он окажется через секунду от начала полета
Для этого найдем скорость которую тело имело в первую секунду полета
V=gt=10*1=10m/c
h1=10*1+5*1=15m(формула выше)
Значит относительно земли он будет находиться на высоте 20-15=5м
Ну и скорость в тот момент времени мы нашли.
Считая плотность Земли постоянной, определите глубину, на которой ускорение свободного падения составляет 25% от ускорения свободного падения на поверхности Земли.
Поскольку в воображаемом колодце, проходящем от поверхности Земли к её центру, сила тяжести возрастает пропорционально расстоянию от центра Земли до поверхности (достигая 1g на поверхности Земли), 25% сила тяжести составит на расстоянии 25% радиуса Земли от центра. До поверхности это расстояние будет, соответственно, 75% радиуса. Принимая радиус Земли за 6371 км, получаем глубину - 4478 км.Найти изменение ускорения свободного падения при опускания тела на глубину h. На какой глубине эта величина составляет 25% ускорение свободного падения на поверхности Земли? Плотность Земли считать постоянной. Указания. Учесть, что тело, которое находится на глубине под поверхностью Земле, не испытывает со стороны вышележащих слоев никакого притяжения, так как притяжения от отдельных частей слоя взаимно компенсируются. (Считать применимой теорему Гаусса-Остроградского к гравитационного взаимодействия).
Покажем, что ускорение силы тяжести в колодце глубиной h спадает по законуg = g₀(R-h)/R
где
g₀ = 9.8 м с⁻² = GM/R² - ускорение силы тяжести близ поверхности Земли
G - гравитационная постоянная
М - масса Земли
R = 6 371 000 м - средний радиус Земли
h - глубина колодца
Здесь и далее силой Кориолиса пренебрегаем.
Поскольку притяжение со стороны шарового слоя толщиной, равной глубине колодца, равно нулю, остаётся влияние сферы радиусом
(R-h)
и массой
M’ = (4/3)пρ(R - h)³ - при допущении постоянства плотности ρ
Тогда
g = G(4/3)пρ(R - h)³/(R - h)² = 4Gпρ(R - h)/3.
Поскольку
4пρR³/3 = M
то
4пρ/3 = M/R³.
Таким образом,
g = 4Gпρ(R - h)/3 = GM(R - h)/R³
и так как
GM/R² = g₀
получаем
g = g₀(R - h)/R.
Это похоже на правду, поскольку при h = 0 последнее равенство переходит в g = g₀
Итак, g = g₀(R-h)/R
Тогда
g₀/4 = g₀(R-h₀)/R
откуда
h₀ = 0.75R = 4778250 м (4778 км)
На каком расстоянии от поверхности земли ускорение свободного падения земли будет равно 1,25 мс^2, радиус земли принять равным 6400км
G’ = GM/(R + h)²g = GM/R²
g’ = 1.25 м с⁻² - ускорение силы тяжести на высоте h над поверхностью Земли
g = 9.8 м с⁻² - ускорение силы тяжести у поверхности Земли
G - гравитационная постоянная
M - масса Земли
Из уравнений следует
g’(R + h)² = gR²
или
√g’(R + h) = √gR
откуда
h = R(√g - √g’)/√g’ = R(√(g/g’) - 1) = 6400(√(9.8/1.25) - 1) = 11500 км
Тело начинает падение с некоторой высоты. У земли его скорость равна 30м/с. Найти высоту падения тела g=(10м/с)
Mgh₀ = mv₀²/2 - из закона сохранения механической энергии потенциальная энергия в высшей точке свободного падения равна кинетической энергии в конце паденияотсюда
h₀ = v₀²/2g = 900/20 = 45 м
Тот же самый результат можно получить из кинематики
В момент падения t₀ скорость есть
v₀ = gt₀
и высота есть
0 = h₀ - gt₀²/2
Из первого уравнения
t₀ = v₀/g
Подставив это выражение для времени свободного падения во второе уравнение получим
h₀ = g(v₀/g)²/2 = v₀²/2g