Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. При движении по окружности может изменяться не только направление скорости тела, но и ее модуль. Возможно движение, при котором изменяется только направление скорости, а ее модуль остается постоянным. Такое движение называют равномерным движением тела по окружности.
Равномерное движение по окружности - это движение, при котором материальная точка за равные промежутки времени проходит равные по длине дуги окружности. Это простейший пример криволинейного движения. Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату.
Равномерное движение точки по окружности происходит с постоянной по модулю скоростью (v=const) по траектории, представляющей собой окружность. Но, т.к. скорость всегда направлена по касательной к траектории движения, то по направлению она постоянно изменяется. Значит равномерное движение по окружности – ускоренное движение!
Основные характеристики равномерного движения по окружности и их взаимосвязь
При движении по окружности с постоянной по величине линейной скоростью \(v\) тело испытывает направленное к центру окружности постоянное центростремительное ускорение \(a_ц = \frac{v^2}{R}\), где R - радиус окружности.
Если в случае движения по прямой с постоянным ускорением основными характеристиками будут: перемещение \(s\), скорость \(v\) и ускорение \(a\), то при движении по окружности радиусом R им соответствуют: угловое перемещение \(j\), угловая скорость \(\omega\) и угловое ускорение \(a\) (в случае, если тело вращается с переменной скоростью).
Из геометрических соображений вытекают следующие связи между этими характеристиками:
- перемещение \(\;s \;\;\dashrightarrow\;\;\) угловое перемещение \(\;\;j =\frac{s}{R}\);
- скорость \(\;v \;\;\dashrightarrow\;\;\) угловая скорость \(\;\;\omega =\frac{v}{R}\);
- ускорение \(\;a \;\;\dashrightarrow\;\;\) угловое ускорение \(\;\;a =\frac{a}{R}\).
Угловая скорость при равномерном движении постоянная и обозначается греческой буквой омега: ω(t).
Измеряется в радианах в секунду (рад/с).
ω(t) = φ’(t), где φ(t) - это угол поворота в радианах.
Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость, обозначается английской буквой v(t) и измеряется в метрах в секунду (м/с). При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v = const, а изменяется только направление вектора скорости. \( v= \frac{2\pi R}{T} = 2\pi R\nu\)
Перевод из угловой скорости в линейную: $$ v(t) = r\cdot\omega(t)$$ Если угол поворота считать в градусах, то $$ v(t) = \pi\cdot r\cdot \omega(t)$$ Длина l дуги окружности, пройденной точкой, связана с углом поворота φ выражением $$ l = Rφ,\;\;\;\text{где R – радиус окружности} $$
Частота вращения - число оборотов в единицу времени, \( \nu = \frac{n}{t}\;\;\frac{об}{сек} \)
Период обращения - время одного полного оборота, \( T=\frac{1}{\nu} \)
При вращении полный оборот \( \phi =2\pi \Rightarrow \omega =\frac{2\pi}{T}=2\pi\nu \)
Формулы равномерного и равноускоренного движения по окружности
При равномерном движении по окружности отсутствует тангенциальное (направленное по касательной) ускорение, присутствует только нормальное ускорение: $$ a_n=\frac{v^2}{R}, \text{где} \;\; v\;\; \text{- скорость,}\;\; R\;\; \text{- радиус окружности} $$ Так как $$ v=const, \text{то}\;\; ω=\frac{v}{R}=const\;\; \text{и}\;\; ε=\frac{dω}{dt}=0,\\ \text{где}\;\; ω \;\;\text{и}\;\; ε \;\;\text{- угловая скорость и угловое ускорение.}$$ Зависимость угла \(\alpha\) от времени имеет вид $$ \alpha=\alpha_0 + ω\cdot t,\;\; \text{где}\;\; \alpha_0 \;\;\text{- начальный угол (в момент времени t=0).}$$
При равноускоренном движении к нормальному ускорению \(a_n\) добавляется тангенциальное ускорение \(a_{\tau}=const\).
| Скорость тела | \(v=v_0+a_{\tau}\cdot t\) |
| Полное ускорение | \(a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau}^2}\) |
| Угловая скорость | \(ω=\frac{v}{R}=\frac{v_0}{R}+\frac{a_{\tau}\cdot t}{R}\) |
| Угловое ускорение | \(ε=\frac{dω}{dt}=\frac{a_{\tau}}{R}\) |
| Угол | \(\alpha=\alpha_0+\frac{v_0\cdot t}{R}+\frac{a_{\tau}\cdot t^2}{(2R)}\) |
Что представляет из себя центростремительное ускорение?
Почему же возникает ускорение при движении по окружности с постоянной по модулю скоростью?
Дело в том, что скорость - вектор. Это означает, что направление скорости можно изменить только действием силы. В данном случае, это центростремительная сила, которая создает центростремительное ускорение. Назначение этого ускорения - менять направление силы. И надо помнить, что ускорение и скорость всегда перпендикулярны.
Ускорение, по определению, это отношение вектора \(\vec{\Delta v}\) к промежутку времени \(\Delta t\), за который вектор скорости изменился на величину \(\Delta v \;\;\; a=\frac{\Delta v}{\Delta t}\).
При движении по окружности (и по любой кривой) вектор скорости, будучи направленным по касательной к траектории, все время изменяет направление и, значит, вектор \(\Delta v\) отличен от нуля, даже если модуль вектора \(v\) не изменяется при движении.
В общем случае, при равномерном движении в любой точке криволинейной траектории тело движется с ускорением, которое направленно к центру той окружности, частью которой является данная траектория вблизи этой точки. Численное же значение ускорения зависит от скорости тела в этой точке и от радиуса соответствующей окружности.
Модуль центростремительного ускорения связан с линейной \(v\) и угловой \(\omega\) скоростями соотношениями: $$ a_n = \frac{v^2}{R} = \omega^2R $$
Тело равномерно движется по окружности:
а) Как направлена сила, сообщающая телу ускорение?
сила направлена вдоль радиуса к центру окружности
б) Как направлены скорость и ускорение движения тела?
скорость направлена по касательной, а ускорение - к центру окружности
в) По какой формуле определяют линейную скорость движения тела? $$ v =\frac{L}{t}=\frac{2\pi R}{T}$$
г) По какой формуле определяют ускорение? $$ а=\frac{v^2}{R}=\omega^2\cdot R$$
е) Как, зная t, за которое тело совершило N полных оборотов, найти период его обращения? $$ T=\frac{t}{N} $$
Как направлен вектор скорости при движении тела по окружности?
Вектор скорости направлен по касательной к окружности.
Что можно сказать о направлении вектора ускорения при движении тела по окружности?
Вектор ускорения при движении тела по окружности называется центростремительным ускорением и направлен вдоль радиуса к центру окружности.
Тело движется равномерно по окружности куда направлена равнодействующая сил, приложенных к телу?
Равнодействующая сила при равномерном движении тела по окружности направлена к центру этой окружности, т.е. перпендикулярно перемещению. Работа определяется по формуле: \(A=F\cdot S\cdot cos(a);\;\;\; a=90;\;\;\; cos(a)=0;\;\;\; A=0;\)
Докажите, что при равномерном движении по окружности вектор ускорения направлен к центр окружности
Равномерное движение по окружности описывается в системе координат Оху уравнениями: $$ x=Rcos(\omega t),\;\;\; y=Rsin(\omega t),$$ где \(\omega\) - угловая скорость, t - время, R - радиус окружности и О - её центр; х и у - координаты радиус-вектора точки, которая движется по окружности. Координаты вектора ускорения - это вторые производные от координат радиус-вектора: $$ x’’(t)=-w^2\cdot Rcos(\omega t),\;\;\; y’’(t)=-w^2\cdot Rsin(\omega t) \\=> x’’(t)=-w^2\cdot Rx,\;\; y’’(t)=-w^2\cdot Ry$$ Отсюда видно, что вектор ускорения направлен противоположно радиус-вектору, то есть - к центру.
Почему движение по криволинейной траектории со скоростью, модуль которой постоянен, является движением с ускорением?
Потому что при движении по кривой тело описывает часть окружности, а при движении по окружности тело всегда имеет центростремительное ускорение.
В криволинейном движении направление скорости тела непрерывно изменяется. Скорость - величина векторная, изменение направления скорости даже при неизменном модуле скорости означает, что тело движется с ускорением. Следовательно, любое криволинейное движение, и в том числе движение по окружности, является движением ускоренным.
